運用規律解決幾何問題

王勇安

(安徽省蕪湖市鳩江區馬渡學校 安徽蕪湖 241000)

姚敬東先生主編的《學生發展核心素養下的課堂教學指南》中指出，有效的歸納能激發學生主動構建，反推法、綜合法就是讓學生學會如何根據眾多幾何知識的組合，探求知識點之間的本質特征、內部聯系，并在解題過程中培養學生的數學建模能力，思維的發散能力，促進學生主動有序探索，吸納構建。下面我針對自己的教學，對如何在解題過程中運用好反推法、綜合法，淺談自己的幾點看法[1]。

一、什么是分析方法

（一）反推法

數學的反推法與警察破案十分相似，都是要逆向推理，從題目要證明的結論出發往回推理，從未知看需知，逐步靠近已知，在此過程中有兩點需要對學生重點培養：

1.做題時在草稿紙上畫分析引導圖

學習畫數學引導圖可以有效鍛煉學生的思維能力。在不斷畫圖的中過程，學生的思維會越來越清晰，做幾何題越來越快，從而增強學習自信心。

2.注重幾何語言的培養

在完成數學引導圖以后，要讓學生反過來把引導圖翻譯成幾何語言。幾何教學中存在不同形式的語言，大致有圖形語言、文字語言和符號語言三種。教師在教學過程中，首先要讓學生理解、掌握這三種不同的語言，繼而還需培養學生將這三種語言相互轉化的能力。不同語言在幾何內容的學習中發揮著不同的作用。圖形語言一般較為直觀，能夠形象地向學生展示問題；而文字語言則是概括和抽象的，重點是對圖形或圖形本身中蘊含的深層關系予以準確的描述，對幾何的定義、定理、題目等予以精確的表述；符號語言則是對語言文字的再次抽象，它具有簡化作用，有更深的抽象性，也是最難掌握的一種，是邏輯推理必備的能力基礎。

（二）綜合法

綜合法是針對一些無法用反推法解決的難題，從已知條件猜測考點，結合圖形進行解答。綜合法是幾何題目解題中通常會用到的邏輯思維方法。其特點在于從已知推可知，逐步再推出未知，在較為復雜的問題中，需要良好地運用綜合分析法，從已知出發，從結論入手，形成完整的體系，尋求最后解決問題的接洽點，進而達到解決問題的目的。用綜合法解決幾何題比反推法要難的多。在此過程中，需要重點培養學生同類知識的歸納積累習慣，從而增加猜測的準確度。如證明角相等的方法有：對頂角相等，平行線里同位角相等，內錯角相等，余角、補角定理，角平分線定義，等腰三角形、全等三角形的對應角等方法。

二、分析方法解題案列

興趣是最好的老師，興趣也是學習數學的最佳營養品和興奮劑，對于學困生來說，激發他們的學習興趣尤為重要。讓學生產生興趣的課堂最大的特點就是老師少說學生多做、多思考，但現在從小學開始的教學模式就是讓學生大量重復地進行題海戰術，學生雖然在做但真正自己思考的時間卻很少，思維得不到有效鍛煉，這樣學生到了初中根本無法有效審題和思考。所以，在七年級一開始我就有意識地訓練學生運用反推法和綜合法的能力，早期有一次教學內容如下：

12.如圖，已知a∥b，∠1=70o，∠2=40o，則∠3= 。

學生看到圖后積極嘗試，這道題本身不難，但學生剛涉及幾何學習，除了少數數學天賦好的同學很快算出答案，大部分同學幾分鐘后還是沒有做出來，為了鍛煉學生的口語，我就請了最先做出來的孫同學給大家講解過程，但他只是把答題步驟讀了一遍，底下還是有多人眼神很迷茫，于是我先表揚了孫同學，讓底下聽懂了的同學舉手，結果還是有一半人沒舉手，于是我在這部分人中點了成績中下的王同學和我一起進行反推法的演練：

師：請問什么角等于∠3？

生：∠ABC。

師：所以我們可先求∠ABC，那么求∠ABC可以先求什么角？

生：可以用內角和先求∠ACB。

師：那么∠ACB又可以由什么角求得？

生：∠2是它的對頂角，可以由∠2得來。

師：說的很好。

我一邊問一邊畫引導圖，這種分析方法和直觀的引導圖立馬被很多學生接受，在后面的幾何教學中，一直讓學生采用這種分析方法和畫引導圖的解題方法，讓他們主動發現問題、探索問題、解決問題。學生課堂參與度越來越高，數學興趣非常濃厚，后來我將例題的解題直接分割成三部分，審題找已知，已知析思路，思路化步驟，其中課堂講題時重點訓練一二兩部分，特別是第二步分析方法，果然在后來的教學中同學們給了我驚喜。一次公開課就出現了這樣的情況。

教學內容如下（多媒體出示）：

例2：已知：如圖所示，AD=BC。求證：AB=CD。

在那次的九年級數學公開課上，我和同學們一題多解，同學們用綜合法竟然找到多達5種證明方法，特別是龔同學不僅思路清晰，語言分析有條理，方法也最簡。他開始從結果出發：

AB=CD

↑

弧AB=弧CD

↑

發現不好推以后又從已知猜測AD=BC

↓

弧AB=弧CD

↓

弧AB+弧AC=弧CD+弧AC

↓

弧AB=弧CD

這節課后，很多聽課老師都說我們班的同學對問題的分析非常老到，而且都非常自信。實際上，幾何分析法不僅是一種解題方法，也是學生與學生、學生與老師之間最簡單直接的溝通方式，更是我們優化課堂、培養師生感情的重要方法。

三、研究分析方法的目的是讓放手成為習慣

初中一節數學課不管是習題課還是新授課容量都非常大，要學的內容多，每節課都有許多知識點要求學生學習掌握，因為怕學生通過自主探究分析完成不了教學內容，又怕學生學得不夠深、不夠細，同時頂著中考的壓力，導致許多教師不敢將課堂還給學生，不敢放手讓學生去自主分析探究解題思路。“填鴨式”的課堂教學應運而生，一節課下來教師累的疲憊不堪，怎奈“落花有意付流水，流水無情葬落花”，老師講得累，學生聽得暈，我想我們是時候精簡題數，細化題型，放手讓學生在反推、綜合法的借鑒下自由發揮了[2]。