一節遞進式問題串的高三數學探究課

吳華波

[摘? 要] 高三學生基礎較好，已經掌握導數的概念、導數的運算以及導數的基本應用，能夠用導數的性質解決初等函數的單調性問題，能利用導數的性質確定簡單的含參變量函數的取值范圍. 文章以蘇教版高三數學一輪復習課《利用導數研究函數的性質》為例，從遞進式問題串層層推進課堂教學，提升學生在理解應用導數解決函數單調性性質方面的關鍵能力.

[關鍵詞] 高三數學;探究課;遞進式問題串

教學過程回顧

1. 預習反饋

問題1：對于區間（a，b）上的函數f（x），f ′（x）>0能得到什么？

生：f（x）在（a，b）上單調遞增.

問題2：f（x）在（a，b）上單調遞增的充要條件是什么？

生：f′（x）≥0在區間（a，b）上恒成立且不恒等于零.

通過求導，可以解決曲線的斜率、求曲線的切線方程，以及利用導數研究函數的單調性，求函數的極值與最值. 還可以利用導數確定參數的取值范圍，討論方程的根和證明不等式，其實質仍然是轉化為函數的單調性和極（最）值問題. 例如：

2. 互動釋疑

問題3：請討論函數f（x）=■的單調性，并指出其有幾個零點.

學生1：定義域是（0，+∞），求導得單調性，作出如圖1的大致圖像，因此有兩個零點.

學生2：上面同學作圖有問題，當x∈（e，+∞）時，函數值都是大于0的，圖像不會與x軸有交點，？搖因此該函數只有1個零點.

問題4：已知函數f（x）=lnx+■，求函數f（x）在區間[1，e]上的最值.

通過運算，學生均能正確完成.

問題5：已知函數f（x）=lnx-■（m∈R），求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值.

圖2、圖3是學生自己完成的兩種較為典型的解題過程，根據m的取值范圍進行了分類討論，均得到了正確的結果.但大部分學生用圖2的做法，做到分類3的時候較為煩瑣. 仔細觀察發現分類1、2也完全是3的一部分，于是很糾結到底要不要舍棄1、2兩類的討論，在此花費了較多的時間去猶豫和思考.

展示了兩種解法后，讓采取圖3做法的學生做了解釋，他說此函數的單調性雖然受到m的影響，但是，通過分析分子x+m在x∈[1，e]上的特性，分子全正（f（x）增），全負（f（x）減），先負后正（f（x）先減后增），根據f（x）的單調性求最大值運算的結果，實際是比較兩端f（1）和f（e）的大小，反向得出參數m的取值范圍.

問題6：已知函數f（x）=lnx-■（m∈R）在區間[1，e]上取得最小值4，求m的值.

學生開始根據問題5的過程進行了思考，因為本題是直接給出最小值求參數，所以還是利用導函數f′（x）=■對其單調性進行討論. 此時有了圖2求解過程經驗的學生，易得到結果，根據圖3來解決本問的學生，速度則明顯慢了許多.

3. 歸納總結

圍繞函數f（x）=■這一比較熱門的函數模型的解決方法，利用導數確定參數的取值范圍，討論方程的根和證明不等式，其實質仍然是轉化為函數的單調性和極（最）值問題.

課堂上總體以問題串的設計進行深入探討，逐漸提供一些具有挑戰性的問題，學生有比較地利用了常規方法和常規思維的深入轉化，體會極值是函數的局部性質，只能刻畫函數在某點處的值及其附近左、右函數值的比較.

數學課堂遞進式問題串促能力提升的設計思路

圍繞問題串，首先回顧導數工具運用，明確概念，從f（x）=■這一具體的流行函數入手，結合學生能夠掌握的數形結合的方法，從幾何的角度去探究導數的變化與函數單調性的關系，去認識感知導數對單調性的影響，問題3中的問題串是在前面問題1、2上的深入，可以提高學生對單調性有較高層次了解的興趣.問題4是將f（x）=lnx與一個具體的反比例函數組合，漸漸向應用層面深入引導，學生解決起來也得心應手. 問題5是將反比例函數中的常數改為參變量，并結合求最值過程中常規思維和特殊思路的應用，感受問題3、4的思維并引領運算，感受運算烘托思維的本位化體驗.問題6進一步拔高，體現轉化與化歸的思想. 整節課給筆者的印象是具有探究性，體現了學生數學素養的不斷整合與滲透.

1. 數學課堂問題串的引領性

在知識主線清晰、知識網絡明確的前提下，預設教學情景，預設內容要依托教材，但不跳出教材，其目標就是運用函數的單調性求參數的值或取值范圍，課堂遞進中體現師生互動、生生互動的探究結果，體現出一輪復習的目標：全面、系統、扎實、靈活.

2. 探究能力與思維素養在課堂上的滲透

核心素養在數學課堂上的體驗是一個認知、解決、內化的過程，一道題或一堂課不可能就將整個核心全部體現出來.課堂的推進過程中，學生體現出的勇于質疑、勇于探索、理性思維的精神，勇于展現自我、勇于批評與自我批評的能力等，師生之間的相互賞識，教師體現出的人文情懷、德育滲透等，這些都屬于核心素養提升的范疇.現行的高考怎么考，一個是考數學的關鍵能力，另一個是考滲透的德育功能，它是意志品質的考試，是對學生自我定位、自我調整、自我提升的一種體現.

3. 處理好數學素養提升上的三個關系

第一個關系：講授與引導的關系.對此課堂上較好的處理，都是以引導、探究為主，高三一輪復習的課和高一、高二的課不一樣，不是告訴學生這是什么，學到了什么，而是激發學生主動去尋找、參與.

第二個關系：基礎與能力的關系.鞏固基礎是一輪復習中要特別注意的環節，寧可能力先放一放，也要先打下扎實的基礎. 尤其是學生在沒建立知識網絡結構的復習課上，教師要引導學生積極地參與知識網絡的建構，這很重要，不管是采用回顧整理知識點的方式，還是由小題帶出知識點，都要注重通性通法與基本技能的訓練. 能力不是通過講就擁有的，是教師要舍得給足時間讓學生去運算，去經歷，去探究，去實踐;精講不是不講，不是少講，是“教學生去發現”.

第三個關系：落實與速度的關系.不要過度追求課堂的容量，但也不是說課堂的容量大就是壞事情，這里說的容量是指學生落實下去的容量，不是題目的容量，而是思維的容量.高三復習時間緊張，我們要在保證課堂容量的情況下，適當提升講授的速度. 如果教師在課堂上面不緊不慢，學生會在潛意識里缺乏一種壓迫感. 我們經常遇到這樣的情況：學生平時作業能慢慢做出來的題，但一到考試的時候就不知該如何下筆.從這里，我們也能感受到，高三復習時，需要給予學生一定的壓迫感，有意識地鍛煉學生做題的速度，提高學習效率.

用問題串設計高三數學探究課的原則

1. 突出課堂教學的主導與主體

教師注重學生的修正與學生的評價，這是教師主動帶領下完成的，教師在知識點的整合與整理上的作用不可替代，探究的方向是可控的，是層層遞進的，學生的展示具有可評價和可對比性，學生的主體地位需要進一步凸顯.

2. 突出結合教材的指導性地位

教材上面給出的要點比較簡潔，整理的例子與考題必然是圍繞實例展開的，好比說函數零點這一塊，導數對單調性的闡述這一塊，假若只看教材，除了定理精確的表述，教材上經常是給一個示例或者思考進行補充，需要緊扣這些思考進行深化解釋，給出正確的表述，印象會更深刻. 一輪復習到底是做后教，還是教后做，還是邊做邊教，這點是要根據教材的內容不同、難度不同而靈活處理的，不是說每一堂課都要按照什么一個順序去處理.

3. 難度的把握不等同于素養的高低

一輪復習到底到哪個難度，并沒有一個具體的標準.有的教師說最后這個題的難度高了，有的說這個難度能夠接受，實際上，教師需要把握的是該題適不適合自己的學生，能達到學生能想能寫的難度就是合適的難度，當然對于各個學校的實際來說，是可以酌情考慮的.