論數形結合思想在高中數學解題中的優勢與應用

朱強

[摘? 要] 宏觀看待高中數學內容，我們發現盡管不少知識間存在著必然聯系，但大多數知識具有抽象和難懂的本質特征，學生在理解的過程中仍存在著些許難度. 數形結合思想在高中數學中的優勢不僅僅局限于可以幫助學生理清知識內容，最大的優勢在于可以為學生打開解題思路，提高學生的思維能力. 文章從三角問題、與方程的解有關的問題、復數問題以及解析幾何問題方面著手，談談數形結合思想在高中數學解題中的優勢與應用.

[關鍵詞] 高中數學;數形結合;思想方法;解題;思維能力

數學思想是數學能力和數學意識形成的“催化劑”，更是靈活地應用數學知識技能的源泉.高考中，幾乎每個“把關題”都離不開數學思想的參與. 因此，教師需要在解題教學中引領學生時時總結、常常反思，在解題的過程中不斷提煉“精髓”，使數學思想自然形成，使學生的數學解題能力在數學思想的浸潤下逐漸提升.

數形結合是一種獨具特色的信息轉化思想，它也是解決數學問題的一個有效工具，將這一方法應用于高中數學的學習，能將直觀圖形和抽象數學有機地串聯起來，這樣的處理能夠使學生的數學感知與數學思維相融合，使學生的思維過程簡化，從而達到提高解題效率的目的. 下面筆者就從學生解題的角度著手，探討以下數形結合思想的應用.

關注數形結合在三角函數中的應用

縱觀歷年高考試卷，三角函數是高考的熱點問題，是高等數學學習和應用技術學科類的基石，也是解決實際生產問題的依據，突破這一重要知識的思想方法有很多，數形結合思想就是其中之一. 這就要求教師在解題教學中以此作為處理三角問題的重要思想方法，從而達到優化解題途徑的目的.

例1：設函數f（x）的圖像與直線x=a，x=b及x軸三者所構圖形的面積是函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在0，■上的面積為■（n∈N*）.

（1）試求出y=sin3x在0，■上的面積.

（2）試求出y=sin（3x-π）+1在■，■上的面積.

分析：需由本題中的條件“函數y=sinnx在0，■上的面積為■（n∈N*）”類比y=sin3x在0，■上的面積和y=sin（3x-π）+1在■，■上的面積來解決本題. 那么，此處則需從題設中的面積定義和所給出的函數面積出發，以此找尋相似性.而考慮這里的已知條件，尤其需關注此處條件所給出的是半個周期的面積，而很顯然，第（1）問中n=3時，一個周期面積為■;而第（2）問是求由y=sin3x平移和翻轉后y=sin（3x-π）+1一個半周期的面積. 如圖1，畫出y=sin（3x-π）+1在■，■的圖像即可得出答案π+■.

評注：筆者認為，在利用數形結合解決三角問題的過程中，畫圖和讀圖是最關鍵的兩步，先根據函數解析式畫出符合要求的圖像，再以形助數即可在解決問題的時候做到游刃有余. 值得注意的是，在繪制圖像時，需準確反映圖像中的相應數量關系，這樣既能培養學生的動手操作能力，還能簡化求解過程.

關注數形結合在與方程的解有關問題中的應用

在解題中，巧妙地通過數形結合這個載體來將方程的解的問題轉化為曲線的交點問題，深刻挖掘出數形結合的價值，旨在簡化問題的解決策略，意在培養學生應用意識這一核心素養.

例2：已知關于x的方程x2-4x+5=m有4個不等實根，試求實數m的取值范圍.

分析：本題由關于x的方程開始，交代了根的個數，與方程的根的具體值毫無關聯，若是直接求解，過程自然是煩瑣和困難的. 經過思考，學生容易想到方程根的個數問題一般情況下可與“求兩條曲線交點的個數問題”相溝通，此處以數形結合思想進行引領，體現了命題者重視數學思想對學生素養的提升.

解：方程x2-4x+5=m根的個數也就是函數y=x2-4x+5與y=m圖像交點的個數.首先，作拋物線y1=x2-4x+5（x≥0）的圖像;接著，作關于y軸對稱的圖像，即得y=x2-4x+5的圖像;然后，作直線y=m（如圖2所示）. 當1

評注：可以說，解決方程解的問題的方法多數都源于數形結合.首先，我們應從圖形出發，借助它的直觀性，巧妙作出與題意相切合的圖像，從圖像中找尋解題的思路，從而為此類問題的突破奠基.然后有效溝通方程和函數，結合數形結合思想展開探究，使問題的解決更簡捷、更合理.

關注數形結合在復數中的應用

在探求復數問題時，若以得數及其運算的幾何意義的載體去繪制圖形，可使問題直觀具體，從而迅速獲解.數形結合思想運用于復數題，尤其是選擇題和填空題中，其優越性尤為明顯.

例3：設z1=5，z2=2，z1-z2=■，則■的值是__________.

分析：本題巧妙地用復數模及四則運算的幾何意義通過數形結合這一載體來求解，深刻挖掘出幾何圖形的價值，意在關注學生數形結合的應用意識. 學生經過思考，形成以下多種解題策略：

解法1：如圖3，設復數z1所對應向量為■，復數z2所對應向量為■，那么■1所對應向量為■，■2所對應向量為

據圖3，可得■=■，∠AOD=∠BOC，據余弦定理，可得

cos∠AOD=■=■，

所以■=■■±■i=2±■i.

解法2：設z1=5（cosθ1+isinθ1），z2=2（cosθ2+isinθ2），

那么z1-z2=（5cosθ1-2cosθ2）+（5sinθ1+2sinθ2）i=■=■，

所以cos（θ1+θ2）=■，sin（θ1+θ2）=±■，

所以■=■=■[cos（θ1+θ2）-isin（θ1+θ2）]=■■±■i=2±■i.

評注：本題通過數形結合探究，充分展示了共軛復數的性質及復平面上的向量表示、代數運算的幾何意義等，這是一種創新嘗試，將數形結合的生動、形象體現得淋漓盡致. 命題者以這種智慧啟迪我們，可以借助數形結合中各具特點的多種解題活動來培養學生的創新意識.

關注數形結合在解析幾何中的應用

解析幾何開創了數形結合的研究方法的先河，它完美展現了數形結合的優勢，深刻演繹了數形結合的精髓.在解析幾何的探究過程中，不僅會經歷代數問題幾何化的過程，還會經歷幾何問題代數化的過程.

例4：若實數x和y滿足等式x2+y2-4x+1=0，試求出■的最大值.

分析：本題從表面材料來看，是一道關于方程和不等式的代數問題，不少學生以此思路直接求解，而求解過程甚是艱難，或者說毫無頭緒. 命題者的本意為了凸顯數形結合這一方法，將等式x2+y2-4x+1=0轉化為（x-2）2+y2=3，由此可以自然聯想到圓C，而■剛好是點（x，y）與原點連線的斜率，如此一來，問題就有了“形”. 原題可以轉化為：如圖4，圓C上有一動點P（x，y），試求出直線OP斜率的最大值.觀察可知，點P位于第一象限，且OP與圓C相切時有PC⊥OP，則直線OP斜率最大值tan∠POC=■=■.

評注：對于題目中的表象材料，學生應當充分剖析，在夯實基本解題方法的同時掌握數學思想方法，從樸素中扎實，從創新中領悟，既需把握樸素方法，還需注重技巧化訓練，讓學生的解題策略在基本數學思想這一載體的滲透下，引領學生積極探究，促進“高階”思維的培養.

總之，數形結合思想在高中數學解題中的有效滲透，可以將抽象思維洗盡鉛華轉化為具體的形象思維，有利于準確把握問題本質，鍛煉和培養解題能力，并且獲得各方面能力的提升.