例談直覺思維在解題中的運用

劉喜蘭

[摘? 要] 直覺思維是人類重要且常見的思維形式，在人的創造思維能力中占有舉足輕重的地位. 文章結合多個例題，從直覺觀察、直覺猜想和滲透思想等方面透析直覺思維的融入，具體呈現了解題中處處存在直覺思維，解題教學中處處可以滲透直覺思維的特點，希望能以微觀映射宏觀，為廣大數學教師的教學提供指導和實踐的方法，從而提高學生的思維品質和學科素養.

[關鍵詞] 解題;直覺思維;觀察;猜想;數形結合

在課堂觀察和調查中，筆者發現：在解題中，教師往往更注重訓練學生的邏輯思維，關注學生邏輯嚴密性的培養，而直覺和預見的過程匆匆而過，這種教學功利性較強，忽視了直覺思維在解題中的頓悟作用和導向意義，導致學生學習動力不足，聯想和想象能力缺失，從而在一定程度上限制了學生思維能力的發展，這與新課程理念背道而馳.

所謂直覺，就是從聯想空間出發，將零碎的、單一的信息進行關聯和組合，整合為新的有價值的信息. 數學直覺就是指擺脫固定邏輯規則的束縛，對數學對象的一種直接領悟或洞察. 所以直覺思維在解題中有不可低估的作用，教師在授課的同時應注重對直覺思維的訓練.

深入觀察，直達目標

觀察是一種直覺活動，它是處理復雜問題時的一種感知活動，敏銳的觀察力可以幫助學生一眼看穿問題的本質，快速形成解題路徑. 因此，在解題教學中教師可以引導學生關注數學問題的結構特征、數形特征、數式特征、圖形特征等，充分運用直覺思維，敏銳做出判斷，形成解決問題的策略.

1. 對數式特征的觀察

例1：已知一個四邊形的四條邊長依次為25，39，52，60，且該四邊形內接于圓O，則圓O的周長為（? ）

A. 65π B. 64π

C. 63π D. 62π

分析：試題以四邊形為載體，題型為一道選擇題，表述較為簡潔，體現了數學抽象，重點考查學生的數感，主要考查學生的直覺思維能力. 不少學生在解題時不注意觀察，讀出題意發現需求外接圓半徑，便經驗主義地從解三角形的方向進行探究，從而導致思維卡殼.事實上，學生需要認真讀題和深入觀察，借助答案所呈現的信息進行思考，只有深入觀察并借助直覺思維準確定位39，52，65及25，60，65分別為一組勾股數，才能得出外接圓周長為65π，故本題選A.

2. 對結構特征的觀察

例2：如圖1，在凸四邊形ABCD中，有AB=AC=AD，∠BAD=80°，試求出∠BCD的度數.

分析：在本題的探究中，一些學生難以制定準確的解題策略，感到一籌莫展.實際上，此時可以不忙著答題，而是引導學生去觀察條件中式子的結構，從AB=AC=AD著手，可以將A視為圓心，則有AB、AC和AD為圓A的半徑，不難得出∠DAB為圓心角，從這個現象中很快看出“門道”，∠BCD為280°弧所含的圓周角，則有∠BCD=■=140°.

3. 對結論特征的觀察

例3：已知P1P2=2（q1+q2），證明：方程x2+P1x+q1=0和x2+P2x+q2=0中至少有一個方程有實根.

分析：本題中命題結論呈現多種特征，要分類討論的情形太多，直接處理不太好入手，而反面只有一種情形，也就是“兩個方程都沒有實根”，從而可以通過反證法來完善解題路徑.

證明：設兩個方程都無實根，則有Δ1=P■-4q1<0，Δ2=P■-4q■<0，則Δ1+Δ2=P■+P■-4（q1+q2）<0. 據條件P1P2=2（q1+q2），可得Δ1+Δ2=P■+P■-2P1P2=（P1-P2）2<0，顯然與（P1-P2）2≥0相矛盾，則方程x2+P1x+q1=0和x2+P2x+q2=0中至少有一個方程有實根.

反證法的思想獨特，需要借助于直覺思維的參與，快速洞悉并形成思維路徑，同時，還可以訓練學生逆向思維能力，有效提升思維品質.

直覺猜想，出其不意

只有全面認識猜想與直覺之間的關聯才能準確定位直覺思維在解題中的作用，從而更好地應用. 不少學生在解題中會猜想是不是這樣的方法，或者是不是這個出發點，然后通過探索實踐，證實自己的猜測，從而形成解題思路和方法.通常這樣的解題過程，不僅可以更好地訓練直覺思維，而且能提高解題能力，促進思維發展.

1. 實驗猜想

例4：計算■×■+1 ■的值.

分析：首先，取n=1，2，3進行實驗，并記所求值為Sn.

當n=1時，S1=9×9+19=102;

當n=2時，S2=99×99+199=（100-1）·（100-1）+（200-1）=1002=102×2;

當n=3時，

S3=999×999+1999=（1000-1）·（1000-1）+（2000-1）=10002=102×3

……

從而猜想易得Sn=（10n-1）（10n-1）+2×10n-1=102n，可得Sn=102n.

從以上例題可以看出，猜想在具體解題中有著十分重要的作用，可以使不少數學題目，尤其是難于上手的數學題，通過猜想輕而易舉獲得解題思路. 而這種猜想是在直覺思維的作用中逐步培養起來的.

2. 條件猜想

例5：設x，y，z∈R，且各不相等，有x+■=y+■=z+■，求證：x2y2z2=1.

分析：若不能把握住條件“x，y，z∈R，且各不相等”進行猜想，則很難找到解決本題的突破口. 事實上，通過直覺思維進行猜想，容易想到解題過程中定會出現因式（x-y），（y-z），（z-x），從而根據以上因式聯想解題路徑，容易生成以下解題方法：

因為x+■=y+■，所以x-y=■-■=■，則yz=■.

同理可得zx=■，xy=■.以上三式相乘，即可證得x2y2z2=1.

滲透思想，直達目標

數形結合是數學思想中最能訓練學生直覺思維的，它借助“數”的精確來闡明“形”的屬性，或提供“形”的形象來表述“數”的關系，實現“數”與“形”的轉化，可以化抽象為直觀，從而形成跳躍式的直覺思維，實現優化解題的目的.

例6：已知n為正實數，且a，b，c，d均為比n小的正數，求證：■+■+■+■<4n.

分析：本題若采用代數法進行求證，學生極易思維卡殼，無法探究到解題思路.觀察本題條件，并聯想到（n-a）+a=（n-b）+b=（n-c）+c=（n-d）+d=n;與此同時，還能再聯系到“直角三角形的斜邊是左邊每個根式”的幾何意義. 在這樣的啟發下，解決本題則有了以下思考：如圖2所示，四邊形A1B1C1D1的周長與不等式左邊的幾何意義相同，有A1D=a，A1C=n-a，AB1=b，B1D=n-b，BC1=c，AC1=n-c，D1C=d，BD1=n-d. 由于四邊形A1B1C1D1的周長小于正方形ABCD的周長4n，所以■+■+■+■<4n.

圖析的過程直觀明了，借助幾何的“形”，使數學的計算脫離了形式法則與抽象定律，讓計算的每一步結果都有了顯性化的載體，賦予了每一個解題步驟合理的闡釋，解決問題的思路在幾何直觀下自然顯現. 所以說，數形結合是一座溝通代數和幾何的橋梁，可以提高學生對數學內部建設的直觀認識，豐富解決問題的策略.

總之，在面向全體學生的數學解題教學中，引導學生運用直覺思維進行思考，是一種值得提倡的策略，不僅可以提高學生的解題能力，形成數學活動的基本經驗，還能滿足學生終身發展的需求.在解題教學中，運用直覺思維，首先要精心設計具有引領性和啟發性的典型例題，促進學生進入深層次的思維狀態，從而自然探尋直覺解題思維策略;其次，還需引導學生深入觀察、直覺猜想、滲透思想，以達到舉一反三的目的;再次，還需引導學生形成解后反思的良好思維習慣，以達到觸類旁通之功效.