關于解析幾何“定點定值”問題的探討

廖述美

[摘? 要] “定點定值”問題是高中數學的綜合性問題，問題中呈現了“動”與“靜”的辯證統一關系，分析時存在諸多的難點，需要采用對應的解題策略. 文章對其問題背景進行剖析，結合例題來總結解題策略，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 解析幾何;定點定值;向量;方程;變式

問題背景

解析幾何中的“定點定值”問題是高中數學的熱點問題，在高考中出現的頻次很高，問題的綜合性較強，解析過程存在一定的難度，對學生的分析思維有著較高的要求，基于問題考查內容，有以下幾點需要關注：

1. 直線中的定點問題，實則也是考查對直線方程的變形，應關注點斜式和斜截式方程的過定點情形.

2. 解析幾何中的定值問題實則就是解析幾何量與參數無關的過程，因此需要掌握線長、幾何面積、角度及斜率等量的代數表達方式，通過化“動”為“靜”來確定定值.

3. 部分定點定值問題也以探究的方式考查，可采用“假設—驗證”的思維方式順推求解，討論是否存在滿足條件的情形.

總之，定點定值問題不僅強調知識綜合，同時也重視思想方法的運用，關注問題考點，把握知識關聯是問題突破的基礎.

典例引路

問題：已知橢圓的解析式為■+■=1（a>b>0），點F1和F2是橢圓的左、右焦點，點A和B是橢圓的短軸端點，連接AF1，AF2，BF1，BF2，四邊形F1AF2B為正方形，且邊長為2，回答下列問題.

（1）試求橢圓解析式中a和b的值.

（2）設點C和D分別為橢圓長軸上的左、右端點，點M為坐標系內的一個動點，連接CM與橢圓的交點為P，若滿足MD⊥CD，試證明■·■為定值，并求出該定值.

（3）在（2）條件成立的情況下，分析坐標x軸上是否存在一點Q（異于點C），使得以MP為直徑的圓始終經過直線DP和MQ的交點？如果存在，請求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

分析：上述是以橢圓、直線、正方形和圓為背景的解析幾何問題，設問特點鮮明.（1）問實則求橢圓解析式，考查橢圓定義;（2）問求證向量積為定值，考查平面向量中數量積的運算;（3）問探究圓過定點，綜合考查直線與圓的位置關系及轉化.

解：（1）求a和b的值，核心條件是正方形F1AF2B的邊長為2，可獲得相應的焦距長和短軸長，進而獲得長軸長，簡解可得a=2，b=■，橢圓方程為■+■=1.

（2）證明■·■為定值，顯然首先需要表示向量，然后通過數量積的運算來確定其定值，常規思路分兩步進行：第一步是設出相關點坐標，推導直線CM的方程;第二步是聯立直線CM與橢圓的解析式，由韋達定理求出點P的坐標，從而將向量■和■統一表示，并通過數量積運算化簡來確定其為定值.

分析可知點C（-2，0），D（2，0），設直線CM的解析式為y=k（x+2），點P坐標為（x1，y1），根據MD⊥CD可推得點M的坐標為（2，4k）. 聯立直線CM和橢圓的解析式，整理可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，由韋達定理可得x1=■，結合直線CM的解析式可得點P■，■. 所以■·■=（2，4k）·■，■=■=4，即■·■為定值，且定值為4.

（3）分析以MP為直徑的圓是否經過DP和MQ的交點，由于MP為直徑，若經過兩線的交點，根據直徑所對的圓周角為直角，可得MQ⊥DP，則■·■=0，后續只需要設出點Q的坐標，求出兩向量，結合向量之積為零來構建方程即可.

設點Q（x0，0）（x0≠-2），若以MP為直徑的圓經過DP和MQ的交點，則有■·■=0. 由（2）問可知■=（2-x0，4k），■=■，■，所以■·■=（2-x0）·■+4k·■=0，整理可得■·x0=0，解得x0=0，即存在點Q（0，0）使得以MP為直徑的圓始終經過直線DP和MQ的交點.

方法提升

解析幾何中的“定點定值”問題的設問形式眾多，上述例題只是其中的一種命題形式，實際解題是需要根據問題特點和條件進行分析推理，解題突破主要有兩種思路：順勢推演和倒推驗證，具體如下.

1. 定點問題的解法及思路

思路一：設出定點坐標，根據問題選定參數，建立直線或者曲線系方程，根據“方程與參數無關”來提取關于定點坐標的方程，通過解方程確定定點坐標;

思路二：把握問題中的特殊位置及特殊情形，直接提取其中的定點，然后證明定點符合題意即可.

2. 定值問題的解法及思路

思路一：設出未知量，結合問題條件進行分析、推理、計算，逐步消去其中的變量;

思路二：從問題的特殊情形入手，直接求出定值，然后證明該定值與題干變量無關.

3. 探究性問題的注意點

對于探究存在性問題，一般采用“假設—驗證”的方式，假設結論成立，分析是否合理，需注意以下幾點：

（1）關注問題情形是否唯一，合理進行分類討論;

（2）根據結論來逆推可能存在的條件，確保條件合理準確;

（3）對于條件不確定的情形，適當拓展思維，選用合理方法.

變式訓練

該類問題與幾何圖形有著一定的關聯，下面解析一道與三角形特性相關聯的探究性定點問題.

例題：已知橢圓C的解析式為■+■=1（a>b>0），離心率e=■，經過右焦點F且與x軸相垂直的直線與橢圓C相截弦長為■，試回答下列問題.

（1）試求橢圓C的解析式.

（2）點N為橢圓的上頂點，分析是否存在直線l與橢圓相交于點P和Q，使得點F為△PQN的垂心？若存在，請求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

解析：（1）根據題干信息可求得a=■，b=1，則橢圓C的解析式為■+y2=1.

（2）假設存在直線l與橢圓相交于點P和Q，使得點F為△PQN的垂心，設點P（x1，y1），Q（x2，y2）. 又知點N（0，1），F（1，0），則kNF=-1，由于NF⊥PQ，則kPQ=1. 設直線l的方程為y=x+m，與橢圓方程聯立，整理可得3x2+4mx+2m2-2=0，由Δ>0可得m2<3，由韋達定理可得x1+x2= -■，x1·x2=■. 由于■·■=0，則■·■=（x1，y1-1）·（x2-1，y2）=2x1·x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0，即2·■-■（m-1）+m2-m=0，從而解得m=-■或m=1. 分析可知當m=1時，△PQN不存在，舍去;當m=-■時，滿足條件，此時直線l的方程為y=x-■.

評析：上述為橢圓與直線的解析幾何問題，第（2）問探究滿足條件的三角形是否存在，解析時由核心條件“F為△PQN垂心”提煉出“向量積為零”，然后通過方程聯立構建與直線l參數相關的代數方程，通過解方程、合理性分析確定了最終的答案. 上述采用了“假設—驗證”順勢推導的解題策略，同時緊密把握幾何特性與向量之間的關聯，構建了代數方程，具有一定的參考價值.

教學建議

1. 解題教學中重視鞏固基礎

解題教學可以有效提升學生的思維能力，但教學中不能脫離教材基礎，數學的基本概念、定理是教學核心，也是解題教學中需要重點鞏固的內容. 教學中不能單純地只讓學生進行知識回顧，而應加強學生對基礎知識的理解，使學生深刻領悟其中的內涵和本質. 例如上述問題中涉及了橢圓的性質、向量積的運算、三角形垂心、曲線相交等，具體教學時應立足知識核心，開展本質揭示，使學生掌握轉化方法的同時領會其內在意義，這對于后續的方法總結和能力提升是十分重要的.

2. 解題教學中注重培養思維

解題教學中需要培養學生的邏輯思維，提升學生的分析推理能力，這是發展學生數學素養的核心內容. 教學中不僅要使學生掌握解題的方法和技巧，還要培養學生思維的敏捷性、靈活性和創新性. 以定點定值問題為例，需要深刻領會解題策略的內涵，除了掌握順推和逆推的方法，對于一些特殊的問題還要掌握聯系條件和結論進行綜合構建的方法. 解題教學中倡導采用一題多解、一題多變的方式，利用拓展探究來鍛煉學生的思維，拓展學生的解題視野. 課堂教學中應以變式探究為引領，使學生養成變式思考的思維習慣.

3. 解題教學中滲透生長之道

數學具有鮮明的特征，實現了知識與思想的雙重融合，其中后者是其核心所在. 解題教學中需要將思想提升作為目標之一，加強學生對思想方法的理解，很多的經典問題中富含豐富的數學思想.例如上述“定點定值”問題中，方程思想、數形結合思想和化歸轉化思想是其本質思想，只有理解了這些數學思想的本質內涵才能真正掌握該類問題的解題策略，學會用數學思想來分析問題，由此真正領悟數學的生長之道，使學生的學科素養真正獲得提升.

寫在最后

總結“定點定值”問題的解題思路和方法有著現實的意義，可以幫助學生強化知識理解、完善知識體系，同時可以提升學生的數學思維，促進學生學科素養的發展. 上述屬于綜合性極強的經典問題，教學中應從基礎知識出發，引導學生思考，結合代表性考題來總結解題方法，同時注重拓展學生的思維，使學生真正掌握考題.