一道高考題的數據分析素養剖析

楊昌琴 韋煜

[摘? 要] 參照《普通高中數學課程標準（2017年版）》中數學學科素養所體現的四個維度，從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個維度對一道數學高考題的數據分析素養進行解題剖析并提出四點教學建議.

[關鍵詞] 數據分析素養;課程標準;素養考查分析;高考材

大數據概念的真正興起是在2008-2012年. 2011年5月，EMC（全球最大的外置存儲硬盤供應商）舉辦了“云計算相遇大數據”的大會，在此會上首次拋出了“大數據”的概念. 在大數據時代，數據不僅是我們課堂上通過觀察、試驗、調查等手段所獲取的客觀數據，而且還包括對圖像、聲音、文本等進行的可視化處理所獲取的數據.時至今日，教育應以育人為本，致力實現教育現代化，學校教育在給學生傳授知識和技能的同時，必須不斷發展和提高學生的核心素養，以適應未來的工作與生活[1]. 數學核心素養是學生在生活實踐和數學學習過程中所逐步形成的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數據分析和數學運算能力的綜合表現.數學測評作為教學過程中的關鍵一環，高考作為數據分析素養測評的一種方式，具有引領作用. 因此，下面僅以2018年高考全國I卷文科數學第19題入手探究一道高考試題中的數據分析素養的考查情況，以期實現文科學生在數學素養上也能得到良好的發展.

數據分析素養的基本含義

《義務教育數學課程標準（2011年版）》[2]中解釋的數據分析觀念有三點：（1）生活中的許多問題都需要先通過實踐調查、獲取數據、分析數據、做出判斷等步驟才能下結論. 如“對全班男同學的身高進行統計”，首先要統計班級男生人數，然后實際測量每個男生的身高，記錄身高數據，分析全班男生身高數據，可以得出哪個男生最高，哪個男生最矮，全班男生的平均身高，大部分男生趨于哪個身高等結論;（2）一組數據可以用于不同的情境用不同的方法從不同的角度進行分析;（3）小樣本收集的數據帶有隨機性的特點，大樣本數據則帶有規律性特點.潘小芳等[3]認為數據分析觀念是在統計過程中內化的、復雜的認識，并通過統計過程中的外顯行為得以體現. 組成部分包括基本要素和認知要素，基本要素為統計知識、統計技能、統計方法， 認知要素為統計意識、隨機思維、批判思維.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》[4]中解釋的數據分析為：“指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養”. 這個內涵涵蓋了6個過程——收集數據、整理數據、提取信息、構建模型、進行推斷、獲得結論. 羅玉華[5]將數據分析表述為：從對象中獲得相關數據，從數據中獲得有用信息，形成知識的思維過程，主要包括收集數據提取信息，利用圖表展示數據，構建模型分析數據，解釋數據蘊含的結論.還總結了數據分析的五個特征：問題的現實性、操作的程式化、數據的隨機性、方法的多樣化、結論的有據性. 巫仕俊等[6]認為數據分析素養是學生在數學活動中通過對數據的體驗和反思所形成的對數據的理解以及運用數據的能力. 邱悅[7]認為數據分析素養是在解決和分析問題時利用數據的能力以及分析數據的水平和素養. 基于上述的文獻分析，總結出數據分析素養是在社會生活和教育教學過程中逐漸形成的數據意識、數據能力、數據態度、數據觀念等方面的綜合體.

試題呈現

某家庭記錄了未使用節水龍頭50天的日用水量數據（單位：m3）和使用了節水龍頭50天的日用水量數據，得到頻數分布表（表1，表2）：

（1）在答題卡上畫出使用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖;

（2）估計該家庭使用節水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率;

（3）估計該家庭使用節水龍頭后，一年能節省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）.

試題數據分析素養剖析

《普通高中數學課程標準（2017版）》一書中指出數學學科核心素養主要體現于四個方面：情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思[2]. 以下正是本題在這四個維度方面的體現過程：

1. 情境與問題：此題以在規定時間內是否使用節水龍頭所產生的日用水量為現實情境（生活情境），提出估算一個家庭使用節水龍頭日用水量小于0.35m3的概率及其一年的節水量和根據頻數分布表畫出頻率分布直方圖等實際操作問題.

2. 知識與技能：本題主要考查學生對頻率分布直方圖的頻數計算、頻率、樣本容量、總體容量等知識點的理解和掌握情況，并考查學生的紙筆作圖能力和數形結合的思想方法.

3. 思維與表達：此題結合常見的家庭節水龍頭生活情境，考查學生對四基（基礎知識、基本技能、基本數學思想、基本數學活動經驗）、四能（發現問題、提出問題、分析問題、解決問題）和四點（重點、難點、疑點、關鍵點）的學習目標的掌握情況. 促使學生闡述自己通過分析兩個頻數分布表與頻率分布直方圖之間的關系從而使數學問題得到解決的方法時所表現的嚴謹思維品質.

4. 交流與反思：將思維與表達的結論用數學語言、符號語言、圖形語言，直觀形象地解釋和表達數學概念、定理、公式、法則和思想方法，并能進行總結評價和拓展應用.

5. 解題流程分析：

第一，根據題意給定的使用節水龍頭日用水量頻數分布表繪制頻率分布直方圖，頻數分布表和頻率分布直方圖是一組數據頻率分布的兩種形式，前者準確，后者直觀;

第二，通過分析本題中的頻率分布直方圖特征，即頻率分布直方圖中的橫坐標表示組距，縱坐標表示■，圖中小矩形的面積為 S■=長×寬寬表示組距，長表示■，因此，此題中的頻率=S■=組距×■;

第三，通過第二步的分析，即可得該家庭使用節水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率;

第四，分析兩個頻數分布表，即可分別得出是否使用節水龍頭的50天日用水量平均數;

第五，基于第四步的分析，即求得該家庭不使用節水龍頭50天日用水量的平均數x1，使用了節水龍頭后50天日用水量的平均數x2，用（x1-x2）×365即可得出一年的節水量，然后展開計算頻率=S■=組距×■，x1，x2，（x1-x2）×365，從而解決該題.

試題解法及數據分析素養考查分析

解：（1）

（2）根據以上數據，該家庭使用節水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為：

0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48.

（3）該家庭未使用節水龍頭50天日用水量的平均數為：

x1=■（0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5）=0.48，

該家庭使用了節水龍頭后50天日用水量的平均數為：

x2=■（0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5）=0.35.

估計使用節水龍頭后，一年可節省水：（0.48-0.35）×365=47.45（m3）.

素養考查分析：該題主要考查了頻數分布表、由頻率分布直方圖計算頻數、頻率、樣本容量、總體容量，頻率分布直方圖的實際應用等知識點及頻率分布直方圖的紙筆作圖能力和數據分析能力. 做好這題，要求學生能夠根據題目中提供的頻率分布直方圖進行數據分析與計算. 如：該題第一問學生可直接依據題目中的頻數分布表繪制頻率分布直方圖，此外學生還應該掌握由頻率分布直方圖中的數值怎么表示眾數、中位數、均值、方差等知識，即學生應該熟悉在頻率分布直方圖中，眾數表示的是最高的一個小矩形的中點的橫坐標，平均值則表示每個小矩形的中點橫坐標與該小矩形面積的乘積的累加值，垂直平分頻率分布直方圖面積的直線與x軸交點的橫坐標即為中位數，每個小矩形的橫坐標與平均值的差的平方的加權平均值即為方差，這些知識都是高考中變式考查數據分析類題目的手段. 所以第一問可以容易畫出;第二問學生如果掌握了頻率分布直方圖的特征，即頻率分布直方圖中的橫坐標表示組距，縱坐標表示■，頻率=S■=組距×■，即可容易求出使用節水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率，這里學生容易出錯的地方為[0.3，0.4）這個區間的用水量的頻率求法，大多學生忽略了題目“日用水量小于0.35m3”這一條件，直接求得錯誤結果：0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.1=0.58;第三問學生只要理解“節省水量=不使用節水龍頭的平均用水量-使用節水龍頭的平均用水量”這個點，即算出（x1-x2）×365就可解決此問題.分析發現，該題以水龍頭這一生活情境為問題背景，不僅體現了數學源于生活，更體現了數據分析素養的考查對于文理科具有不同的發展要求，滲透了對數據分析素養的考查.

試題的其余素養價值體現

數學核心素養是學生在數學學習和實踐過程中形成和發展起來的思維品質和關鍵能力. 本題除了考查主要的數據分析素養外，還側重考查了直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理等數學素養.

1. 數據分析：根據題意已給數據，處理數據，解釋和獲得結論，概括和形成知識.如：由第二張表可繪制出使用節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖;也可求出使用（未使用）節水龍頭50天日用水量的平均數x1，x2，從而獲得解釋結論的素養.

2. 直觀想象：通過直觀感知建立數與形的聯系. 如：結合第一問畫出的頻率分布直方圖，得出構建數學模型的直觀圖形，分析頻率分布直方圖的直觀特征，即得出使用節水龍頭50天日用水量小于0.35m3的頻率為：0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48.

3. 數學運算：在解決該問題時，體現了明晰運算對象（求日用水量小于0.35m3的頻率和是否使用節水龍頭后的節水量），厘清運算思路（如：理解節水量為（x1-x2）×365），依據運算法則解決數學問題的素養.

4. 數學建模：該題使用節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖本身即是一個建模的過程，屬于概率與統計模型. 除此之外，還有代數模型、函數模型、幾何模型等.

5. 邏輯推理：學生依據本題呈現的頻率分布直方圖模型，通過圖形直觀建立頻率與圖中小矩形的面積關系，并結合兩個日用水量頻數分布表所提供的數據進行推理分析，形成正確運算思路，并進行計算得出數學結論.

通過高中數學課程的學習，可以培養學生獲取有效信息并進行定量分析的意識和能力;適應5G時代數字化學習的需求，增強基于數據表達現實問題的意識導向，形成通過數據認識事物的思維品質;積累依托數據追尋事物的本質、關聯和規律的活動經驗[2]. 結合新課程標準分析發現，數據分析類的題目是高考命題的熱點之一，數據分析是大數據時代和“互聯網+”相關領域的主要統計方法.在這個快餐、外賣時代，數據分析已遍布了科學、技術、社會生活等各個方面. 學生在數學學習過程中，多問自己“4W+1H”[8]的問題，重視自我數學學習的反思過程，在反思過程中不斷提高自己用數據說話的意識和態度.

結論與建議

據上述案例分析，可得如下結論：（1）高考題目對數據分析類試題的考查，主要考查學生用樣本估計總體思想的理解，掌握此類試題有助于提升學生的數據分析素養能力;（2）通過創新問題情境提出數學問題，考查學生的知識遷移運用能力，重視四基教學;（3）一道高考試題可能綜合考查多個數學素養，但皆有側重考查的素養，因此可推導此題所考查的內容主線，所以應重視四點教學;（4）通過直觀想象建立數與形的聯系，借助幾圖形直觀理解和解決數學問題，是學生數學思維活動過程的重要體現.

筆者針對數據分析素養的考查分析提出如下建議：（1）教師需認真研讀《普通高中數學課程標準（2017年版）》和《招生考試說明》，分析高考試卷命題的特點，把握高考對數據分析類試題考查的深淺度，實施針對性教學，提高概率與統計內容的教學效率;（2）秉承以生為本的教育理念，引導學生走出數學課堂，回歸自然生活挖掘數學問題，收集數學數據等，以期培養學生的實踐動手能力，落實發現、提出、分析和解決問題能力的教學;（3）轉變重分數輕育人、重結果輕過程、重理論輕動手的教育觀念;（4）理解數學來源于生活又服務于生活的教育理念，注重數學思想方法的總結與應用，注重重難點教學;（5）培養學生的數據分析素養，教師首先要具備數據分析的意識和觀念.

參考文獻：

[1]? 褚宏啟. 教育現代化的本質與評價——我們需要什么樣的教育現代化[J]. 教育研究， 2013，34（11）.

[2]? 中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2017.

[3]? 潘小芳，陳碧芬. 中小學數據分析觀念的研究回顧與反思——基于2001年-2017年文獻的統計分析[J]. 中學數學雜志，2018（12）.

[4]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[5]? 羅玉華. 從PME視角看數據分析素養及其培養[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2017（04）.

[6]? 巫仕俊，周瑞. 談數學教學中學生數據分析素養的培養[J]. 創新人才教育，2017（04）.

[7]? 邱悅. 高中生的數據分析素養水平及教學建議[J]. 科教導刊（上旬刊），2018（03）.

[8]? 楊昌琴，韋煜等. 智慧課堂下數學對話教學探究[J]. 教育現代化，2019，6（32）.