命題需謹慎 解題要反思

田興輝

[摘? 要] 創新是試題命制的客觀需要，但由于命題者水平和經驗所限，難免會出現一些錯題或錯解，文章通過具體案例，試圖理清錯因并找到應對辦法.

[關鍵詞] 命題;解題;錯因;反思

高中數學知識面廣、難度大，知識點間交錯繁雜，由此給命題帶來很大風險，稍有不慎就會出現致命問題. 筆者選取了看似完美的兩例錯題，借此探尋錯題、錯解的根源，思考如何引以為戒或化錯為寶，使其成為我們教學的鋪路石.

題一：已知函數f（x）對任意實數x，y，滿足f（x+y）=f（x）+2y（x+y）且f（1）=1，求f（x）的解析式.

解法一：令y=-x，可得f（0）=f（x）.

再令x=0，y=1，由f（1）=1，得f（0）= -1，故f（x）=-1.

解法二：令x=0，y=1，由f（1）=1，得f（0）=-1.

再令x=0，y=x，得f（x）=2x2-1.

解法三：令x+y=1，得f（1）=f（x）+2（1-x），？搖即f（x）=2x-1.

評注：此題至少會得到以上三種結果，而且看似都很有道理，究竟孰是孰非？學生很茫然，我們嘗試用求出的解析式分別計算一下f（2），會得到三個不同值，到底是哪里出問題了呢？下面來一探究竟：

根據條件“對任意實數x，y，滿足f（x+y）=f（x）+2y（x+y）”，可知這是一道抽象函數問題，比較適合用賦值法解決. 下面給變量賦值，令y=-x，代入條件可得f（x）=f（0），而f（0）是一個常數，這說明f（x）是常數函數. 沿著這個思路分析，由于f（x）是常數函數，那么必有f（x+y）=f（x）=f（0），代入已知條件會得到f（0）=f（0）+2y（x+y），也就是對任意實數x，y，2y（x+y）=0恒成立，這顯然是一個假命題，這個題目的癥結在于已知條件之間互不相容，這種自相矛盾的函數是不存在的.

題二：已知函數f（x）=■，若x1，x2都大于0，且x1+x2

錯解：由f（x）=■求導可得，f′（x）=■.

因為00，所以f（x）在（0，e）上是增函數. 因為x1+x20，x2>0■，所以x1

同理，lnx2<■x2. 所以lnx1+lnx2<■x1+■x2=ln（x1+x2），所以lnx1x21.

評注：本題不妨換種解法，假如利用權方和不等式解決，會得到如下結果.

顯然，原答案給出的解法是利用函數的單調性建立不等關系，看似順風順水，實則極其隱蔽地擴大了取值的范圍，這也提醒我們命題時不妨用一題多解驗證一下，也許會發現一些潛在的隱患.

思考

其一：命題需謹慎，不能盲目創新.由于命題需要，我們常會處心積慮的原創或改編一些新題，但由于考慮欠周全或是沒有經過實踐檢驗，難免會出現意想不到的紕漏. 常見的錯誤多見于條件的設置，尤其是條件之間不兼容， 甚至條件與公理、定理、定義相矛盾，這就要求命題者要多角度思考問題和嘗試一題多解，避免題設條件的對立或開放，確保數學命題的嚴謹性和科學性.

其二：解題要反思，不能迷信答案.對于發現的錯解，最好不要輕易放棄，因為越是這類題目，學生越是感到好奇，越想知道其所以然.如果我們能充分挖掘錯題的教育功能，對于調動學生的學習積極性，培養他們思維的嚴密性和批判性，都將起到很好的作用. 對于出現的不同結果，要抓住區別和聯系，辨明是非和方向，深入剖析錯解根源，激發學生從多角度出發進行深度思考. 此外，還可以挖掘錯題的數學價值，重新開發利用，使其變廢為寶，把修正錯題當作培育數學理性思維的良好載體.