形式各異 本質(zhì)歸一

黃邵華

[摘? 要] 已知斜三角形“邊邊角”解該三角形是高中數(shù)學(xué)“解三角形”一章中常見(jiàn)的問(wèn)題，教師在教、學(xué)生在學(xué)的過(guò)程中常會(huì)用到“圖形法”“正弦定理法”“余弦定理法”三種方法判定解的個(gè)數(shù)或求具體解. 文章通過(guò)計(jì)算分析，論證了上述三種方法在判定解的個(gè)數(shù)的過(guò)程中進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)、分類(lèi)類(lèi)型及最終結(jié)論上的一致性，并且給出了具體問(wèn)題中合理選用哪種方法的策略.

[關(guān)鍵詞] 解三角形;邊邊角;作圖法;正弦定理;余弦定理

“解斜三角形”是高中數(shù)學(xué)必修5中的一章，本章內(nèi)容主要介紹了正弦定理、余弦定理以及這兩個(gè)定理在解斜三角形等方面的應(yīng)用. 其中，解斜三角形一般分為這五類(lèi)問(wèn)題：“角邊角”“角角邊”“邊角邊”“邊邊邊”以及“邊邊角”問(wèn)題. 其中前四類(lèi)問(wèn)題在有解的前提下則必然有且僅有一個(gè)解. 而“邊邊角”問(wèn)題（即已知某斜三角形的兩邊和其中一條邊的對(duì)角，求三角形的另外一邊和兩角的問(wèn)題），則是解斜三角形問(wèn)題中一種常見(jiàn)的也是易錯(cuò)的題型.

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)三角形全等時(shí)，已經(jīng)知道可以通過(guò)“角角邊”“角邊角”“邊角邊”“邊邊邊”四種方法來(lái)證明兩個(gè)斜三角形全等，到了高中學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理后，前二者可以優(yōu)先采用正弦定理入手解三角形，后二者可以優(yōu)先采用余弦定理入手解三角形. 同樣，學(xué)生在初中也學(xué)習(xí)過(guò)“邊邊角”不能夠用來(lái)證明三角形全等，如果已知某斜三角形的兩邊和其中一條邊的對(duì)角，那么該三角形可能會(huì)有多少組解、宜使用什么方法來(lái)求解，則需要在高中學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理后才能解決.

高中生在學(xué)習(xí)解決這類(lèi)“邊邊角”問(wèn)題時(shí)，一般會(huì)接觸到這三種方法：作圖法、正弦定理法、余弦定理法. 但是因?yàn)橹R(shí)和時(shí)間的跨度等原因，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中卻很少會(huì)去思考，教師在教學(xué)過(guò)程中也很少會(huì)去提出下面幾個(gè)問(wèn)題：這三種方法之間的關(guān)聯(lián)是什么？它們的過(guò)程和結(jié)論能否統(tǒng)一起來(lái)？在具體問(wèn)題當(dāng)中應(yīng)該如何選擇方法？本文將對(duì)以上幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行闡述.

提出問(wèn)題：已知△ABC為一個(gè)斜三角形，角A，B，C所對(duì)的邊的長(zhǎng)度分別為a，b，c，若a，b及A為已知，解該三角形.

首先，由題中的已知條件，如果僅僅需要判斷解的個(gè)數(shù)，可以通過(guò)作圖法直觀判斷，具體如下.

（1）若A為銳角，有以下5種情況：

①0

②a=bsinA，1個(gè)解

③bsinA

④a=b，1個(gè)解

⑤a>b，1個(gè)解

（2）若A為鈍角，有以下2種情況：

①0

②a>b，1個(gè)解

從上述圖中可以看到，若A是銳角，只要根據(jù)a與bsinA及b的大小關(guān)系作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，可以分為5種類(lèi)型，最終的結(jié)果可能是0個(gè)解、1個(gè)解或2個(gè)解;若A是鈍角，則只需根據(jù)a與b的大小關(guān)系作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，可以分為2種類(lèi)型，最終的結(jié)果可能是0個(gè)解或1個(gè)解.

作圖法能夠很快判斷出解的個(gè)數(shù)，只是一種定性的判斷，如果定量地具體求解角或者邊的值，這種方法就無(wú)能為力了，此時(shí)就需依靠正弦定理和余弦定理來(lái)求解.

下面我們分析利用正弦定理求解過(guò)程中導(dǎo)致的不同情況是如何系統(tǒng)地與作圖法的不同情況一一對(duì)應(yīng)的.

（1）若A是銳角，由正弦定理可得sinB=■.

①若01，B有0個(gè)解;

②若a=bsinA，則sinB=■=1，B=■，B有1個(gè)解;

③若bsinA

④若a=b，則B=A，B有1個(gè)解;

⑤若a>b，則sinB=■∈（0，1），B=B00

（2）若A是鈍角，由正弦定理可得sinB=■.

①若a>b，則sinB=■∈（0，1），B只能是銳角，B有1個(gè)解;

②若a≤b，則sinB=■≥sinA，則B≥A，B有0個(gè)解.

可以發(fā)現(xiàn)，利用正弦定理求解的過(guò)程中，分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)、類(lèi)型以及結(jié)論與作圖法是完全一致的. 也就是說(shuō)，利用正弦定理求解過(guò)程中的每一種情況都可以用作圖法直觀表達(dá)，反之，用作圖法討論的每一種情況，都可以通過(guò)正弦定理的計(jì)算驗(yàn)證.

相比作圖法，正弦定理求解除了能夠判定解的個(gè)數(shù)，還能夠求出另外一條邊的對(duì)角的大小，進(jìn)而通過(guò)正弦定理或余弦定理即可解該三角形了.

實(shí)際上，在具體問(wèn)題中，學(xué)生還可能用余弦定理來(lái)求解，下面我們分析利用余弦定理求解過(guò)程中討論的不同類(lèi)別是如何系統(tǒng)地與作圖法、正弦定理法討論的不同類(lèi)別一一對(duì)應(yīng)的.

由余弦定理可得c2-2bcosA·c+b2-a2=0，這是一個(gè)關(guān)于c的一元二次方程，Δ=4b2cos2A-4（b2-a2）=4（a2-b2sin2A），且兩根之和c1+c2=2bcosA，兩根之積c1c2=b2-a2.

（1）若A是銳角（cosA>0）：

①若0

②若a=bsinA，則Δ=0，c=bcosA，c有1個(gè)解;

③若bsinA0，且c1+c2>0，c1c2>0，因此方程的2個(gè)解均為正數(shù)，所以c有2個(gè)解;

④若a=b，則c2-2bcosA·c=0，c=2bcosA，c有1個(gè)解;

⑤若a>b，則Δ>0，且c1+c2>0，c1c2<0，因?yàn)閏>0，所以c有1個(gè)解.

（2）若是鈍角（cosA<0）：

①若a>b，則Δ>0，且c1+c2<0，c1c2<0，因?yàn)閏>0，c有1個(gè)解;

②若a≤b，則c1+c2<0，c1c2>0，則c1，c2<0，因?yàn)閏>0，c有0個(gè)解.

從以上分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，利用余弦定理求解的過(guò)程中，分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)、類(lèi)型以及結(jié)論與作圖法和正弦定理法也是完全一致的. 也就是說(shuō)，利用正弦定理、余弦定理求解過(guò)程中的每一種情況都可以用作圖法直觀表達(dá)，反之，用作圖法討論的每一種情況都可以通過(guò)正弦定理、余弦定理的計(jì)算驗(yàn)證.

相比作圖法和正弦定理求解的方法，采用余弦定理求解除了能夠判定解的個(gè)數(shù)，還能夠求出第三條邊的大小，進(jìn)而通過(guò)正弦定理或余弦定理即可解該三角形了.

我們將前面的分析匯總成表1，表2.

上述作圖法、正弦定理求解法、余弦定理求解法這三種方法，雖然求解的過(guò)程完全不同，但通過(guò)上述的理論分析，我們可以將他們統(tǒng)一起來(lái)理解. 雖然求解過(guò)程形式各異，但蘊(yùn)含的本質(zhì)歸一.

最后，如果我們?cè)谟龅骄唧w的“邊邊角”問(wèn)題時(shí)，該如何合理選用以上三種方法呢？通過(guò)上面的分析，我們大致可以做出以下結(jié)論：

（1）如果問(wèn)題僅僅是判斷解的個(gè)數(shù)，可依據(jù)實(shí)際情況，宜采用作圖法或正弦定理進(jìn)行判斷;

（2）如果問(wèn)題是求某一個(gè)角，宜采用正弦定理更便捷些;

（3）如果問(wèn)題是求某一條邊，宜采用余弦定理更便捷些;

（4）如果問(wèn)題是解該三角形，采用正弦定理或余弦定理均可.