動手“做”數學，活動“啟”思維
——以《圓柱和圓錐》動手“做”活動為例

江蘇常熟市昆承小學 丁月芳

六年級下冊《圓柱和圓錐》這一單元知識間的關聯較復雜，計算也較煩瑣，學生有一定的畏學情緒。 如何才能使這部分內容變得讓學生觸手可及，讓學生體驗探索的樂趣？ 教師可以指導學生通過動手“做”，使其經歷真實的探究過程、合作與問題解決，發展學生的核心素養。

一、資源整合——基于動手“做”活動的素材重組

新一輪課改倡導自主、合作、探究的學習方式。我們的教學不能簡單地告訴學生結果，也不是那種淺層次的探究， 而是要通過對單元的整體設計，鼓勵學生參與到深度學習之中，在探究中，積累學習方法和經驗，更重要的是讓學生通過學習經驗的不斷積累，學習如何把握共性，分辨差異。 下面以3道習題為例：

（1）教材第22頁第6題：

下面的圓錐與哪些圓柱的體積相等？ （單位：cm）

（2）教材第25頁第5題：

一塊圓柱形橡皮泥， 底面積是15平方厘米，高是6厘米。

①把它捏成底面積是15平方厘米的圓錐形，高是多少厘米？

②把它捏成高是6厘米的圓錐形， 底面積是多少平方厘米？

（3）教材第23頁思考題：

一個圓錐和一個圓柱底面積相等，體積的比是1∶6。 如果圓錐的高是4.2厘米， 圓柱的高是多少厘米？如果圓柱的高是4.2厘米，圓錐的高是多少厘米？

立足單元整體設計來看，以上3道習題，落腳點都是圍繞“圓柱和圓錐體積、底面積、高之間的關系”來解決問題。 從學生平時的練習中經常會發現，學生對解決“等底等高的圓柱和圓錐的體積關系”的相關知識掌握得較好，但是對“底面積相等，體積相等時圓柱和圓錐高的關系”“高相等，體積相等時圓柱和圓錐底面積的關系”則處于一個思維“空白”狀態，所以遇到上述習題，常常無從下手。 究其原因，這主要是學生的空間觀念尤其是直觀想象能力的缺失。

為此，筆者對教材資源進行了深度整合，開發了動手“做”數學活動課。 旨在為學生提供動手實踐的機會， 彌補教材中的留白， 向學生展示了動手“做”數學活動中蘊含的豐富內涵。

二、探索實踐——探尋動手“做”活動的實踐路徑

學習需要學習思考問題，真正的學習一定是從問題開始的， 是從問題以及努力解決問題開始的。“如何做一個和已知圓錐體積相等的圓柱？ ”便是數學活動的核心問題。 真正意義上的“數學活動”是引導學生“做”數學，讓學生以有實際意義的工具為中介的“做”來獲得知識。通過動手“做”，讓學生經歷真實的探究過程，促進數學素養的課堂落地。

1.立足認知起點，積累活動經驗

活動一：做一個和已知圓錐體積相等的圓柱。

（2）在下面的方格紙上畫出這個無蓋圓柱體的展開圖。

（3）用一張長方形紙，測量出實際所需的數據，動手制作出這個無蓋圓柱體紙盒。 （側面可預留粘貼處）

【思考】在學習過程中，學生能做到“做”前有儲備，“做”中有思考，“做”后有發現。 經歷這樣的學習過程， 不僅能幫助學生獲得對數學知識的深入理解，同時也能讓他們真切地體會到數學知識形成和發展的內在邏輯。 通過之前的圓錐體積研究單，學生對圓錐體積是和它等底等高的圓柱體積的已經有了較深刻的體驗。 受其啟發，學生很容易想到只要畫出高度的圓柱， 就和已知圓錐體積相等。要完成這個數學活動， 還需要掌握相關的操作技能。 比如，如何測量圓錐的底面半徑和高，如何畫圓柱的展開圖，如何根據展開圖制作圓柱等。 學生在畫一畫、剪一剪、拼一拼的活動中，調動原有的知識儲備，積極參與到活動中。 學生經歷這樣的活動過程，才能逐步積累數學活動經驗，培養數學思維能力。

2.巧設認知沖突，發展數學思維

活動二：找一找和已知圓錐體積相等的圓柱。

（1）出示1個圓錐和2個自制圓柱紙盒。 （如下圖所示）

師：根據剛才的學習經驗，你能快速找到和這個圓錐體積相等的圓柱嗎？

生齊：①號圓柱。

師：當①號圓柱和圓錐具有怎樣的關系時，它們的體積才相等呢？

師：讓我們把目光轉向②號圓柱，仔細觀察，你有沒有什么大膽的想法呢？

生：我覺得也不排除體積相等的可能。

師：那如何才能驗證它們的體積是否相等呢？

師：底面積呢？

（底面積3倍不能測量驗證，只能推理）

師：怎樣驗證？

生：裝沙。

得出結論：高相等，圓錐的底面積是圓柱的3倍（圓柱的底面積是圓錐的時，體積也相等。

師：看來，要做一個和已知圓錐體積相等的圓柱，有2種方法：一種是確保底面積不變，圓柱的高取圓錐高的；另一種是確保高不變，圓柱的底面積取圓錐底面積的，它們的體積相等。

呈現教材第22頁第6題。

……

【思考】 呂傳漢教授曾就落實數學核心素養提出了“三教”，即教思考、教體驗、教表達，并強調“教思考”在發展數學核心素養中的重要地位。 當呈現2個圓柱時，學生受思維定式的影響不約而同選擇了①號圓柱。 此刻，教師適時引導學生觀察②號圓柱。啟發學生大膽猜想，“②號圓柱會不會和圓錐的體積也相等呢？ ”“如果相等，它們之間又存在怎樣的關系呢？ ”一石激起千層浪，帶著這樣的疑問，學生的思維一下子被激活了，進一步探究的欲望逐步深入。 學生會通過思維關聯，尋找②號圓柱與圓錐的關系，發現高相等，再通過邏輯推理，聯想“當高相等時，如果圓柱的底面積是圓錐的，那么它們的體積就相等”。 帶著這樣的猜想開始探究、驗證，最終建立了“高相等，圓柱底面積是圓錐的，體積相等”的模型。 從而明確：要做一個和已知圓錐體積相等的圓柱，可以有2種方法：一種是底面積不變，圓柱的高是圓錐高的；另一種是高不變，圓柱的底面積是圓錐底面積的，它們的體積相等。 教師通過巧妙設置認知沖突，在已有探究經驗和成果的基礎上搭建思維的臺階，不斷激活學生的思維發展空間，從而促進學生更為積極主動地思考。

3.拓寬想象空間，培養創新意識

活動三：想象一個和圓柱體積相等的圓錐。

師：當然，我們也可以做一個和圓柱體積相等的圓錐。同學們，下面讓我們一起來做一個活動：看一下你們手里的圓柱學具，把它想象成可以捏的橡皮泥。也可以把你們想象的過程動手畫一畫。

師：如果要把它捏成一個底面積不變的圓錐形，高會發生怎樣的變化？

生：圓錐的高是圓柱的3倍。

師：如果要把它捏成一個高不變的圓錐形，底面積又會發生怎樣的變化？

生：圓錐底面積是圓柱的3倍。

根據想象依次呈現如下表：

images/BZ_89_1293_639_1451_896.png圓柱和圓錐 特征 關系等底等高 體積比1∶3等底等體積 高比1∶3等高等體積 底面積比1∶3

引導發現：有什么共同的本質特征？ （1∶3）

師：真是一個了不起的發現！當“體積、底面積、高”這三者之間有2個等量時，另一個量就是1∶3的關系。

呈現教材第25頁第5題。

繼續想象：如果圓錐和圓柱的體積比為1∶6，你還能想象出它們之間的關系嗎？

呈現教材第23頁思考題。

……

【思考】在教學活動中，依據內容特點引導學生積極主動地開展想象，不僅有助于培養學生的空間想象能力，而且能啟迪學生的思維和智慧，使學生萌生創新欲望，培養創新意識。

教材第25頁第5題， 如果以靜態的文本方式呈現，學生的錯誤率通常很高，如果用“捏橡皮泥”的活動來幫助學生體會“等積變形”的數學思想，學生操作起來也有一定的難度。 結合學生剛剛經歷的“和圓錐體積相等的圓柱”的活動，引導學生想象：底面不變，高在生長，高不變，底面在擴大……想象是一種脫離了動手操作的更高層次的思維活動，通過想象活動來幫助學生建立“等底等體積”“等高等體積”的模型。 這樣的想象活動，既有助于發展學生的空間觀念，也有助于提升他們的思維品質。 通過想象，可以使原本隱蔽的關系明朗化，也可以使原本復雜的關系簡單化，從而使靜態的文本轉化成動態的、豐滿的過程。 從這個角度來說，想象也是一種十分重要的教學活動策略。

“我聽說了，就忘了；我看見了，就領會了；我做過了，就理解了。 ”這句名言突出了“做”的重要性，深刻地揭示了“探求的意義在于經歷”。 在課程實施中，作為教師，必須具有整體結構化的課程視野，大膽實踐開發課程的意識，這樣才能有效引領學生深度建構知識。

上述活動課例的教學， 從一個核心問題出發，對問題的加工、拓展，通過三個不同層次的活動，把教材中零散的知識點串成線、織成網，形成了一個系統的知識網絡，實現教師與文本、教師與學生、學生與學生的深度互動，為促進“數學核心素養”的落地指明了方向。