基于中美教材比較談表內除法

陸曉峰

(合肥市衛崗小學 安徽合肥 230051)

為了研究方便，本文中作為樣本的中國教材，選用的是江蘇教育出版社出版的義務教育教科書《數學》(以下簡稱蘇教版教材)。而作為樣本的美國教材，則選用美國霍頓米夫林哈考特出版社出版的Go Math教材(以下簡稱Go Math教材)。

除法求商是中美小學數學教材中都有的內容，中國教材(內地)以乘法口訣表為基礎，將使用乘法口訣求商的除法稱為“表內除法”，而美版教材沒有乘法口訣，求商方法較為多樣，利用乘法表(10×10)求商只是其中一種。

作為沒有乘法口訣的數學體系，了解美國教材如何求商，“他山之石，可以攻玉”，可以加深我們對除法求商本質的理解，為教學尋求更靈活的方法和策略。

一、中美教材各是如何編排有關0～10各數的除法內容

(一)教學年級

蘇教版教材表內除法安排在二年級上冊，Go Math安排在三年級。

(二)編排順序

蘇教版教材“表內除法”分兩段教學，第一段：第四單元“表內除法(一)”，先“認識除法”，再學習“用1～6的乘法口訣”求商；第二段：第六單元“表內乘法和表內除法(二)”，“7～9的乘法口訣”和“用7～9的乘法口訣求商”的學習同步進行。

Go Math教材把這部分內容安排在三年級第6、7單元，其中第六單元主要內容為“理解除法”，第七單元主要內容是“除法策略”。

蘇教版教材“認識除法”這部分內容有6個例題，例1講“平均分”，例2講“包含除”，例3是“等分除”，例4是兩種分法對比，例5開始除法的初步認識，例6認識除法算式各部分名稱。

把兩版教材進行簡單對比，發現其中有部分內容可以相互對應。蘇教版教材中“平均分”的內容對應Go Math 教材中“除法模型”，而蘇教版教材的“包含除”其實就是Go Math教材中尋找“組”的數量，而“等分除”就是“組”的大小，也就是每“組”幾個。除法引入及除法各部分的名稱，Go Math教材放在例4 Bar Models(條形模型)內介紹。除此之外，兩版教材中都各有部分內容互不對應。比如兩種分法的整理，蘇教版教材有，而Go Math教材沒有；再比如，Go Math在這個單元中安排的五種求商方法以及關于1和0的除法規則則是蘇教版教材中所沒有的內容。

蘇教版教材Go Math教材單元名稱表內除法(一)理解除法例題內容例1:平均分例2:包含除例3:等分除例4:兩種分法整理例5:除法的初步認識例6:除法算式各部分名稱例1:問題解決:除法模型例2:組的大小(每組數量)例3:組的數量例4:條形模型例5:聯系減法和除法例6:陣列模型例7:聯系乘法和除法例8:寫關聯算式例9:關于1和0的除法規則

根據Go Math第7單元的內容和概述做簡單對比，蘇教版表內除法的編排順序是除以1～6作為一個整體，與乘法口訣的編排順序一致，然后依次是除以7、8、9，也和乘法口訣學習保持同步。Go Math則有著特殊的編排順序：除以2，10，5，3，4，6，7，8，9，表面上看似乎毫無規律可言，那么這樣的編排順序依據是什么，你能想到嗎？

蘇教版教材Go Math教材單元名稱表內除法(一)、(二)除法策略例題內容表內除法(一)例7:用1～6的乘法口訣求商表內除法(二)例2:用7的乘法口訣求商例4:用8的乘法口訣求商例5后的“試一試”:用9的乘法口訣求商例1:除以2例2:除以10例3:除以5例4:除以3例5:除以4例6:除以6例7:除以7例8:除以8例9:除以9

二、中美教材除法求商各有哪些方法

蘇教版的求商方法在介紹口訣求商之前有兩種：“圈一圈”“分一分”，分別對應“包含除”和“等分除”兩種情況。

而Go Math的求商方法五花八門，先說在第6單元出現的6種：

第一種：直觀操作，用籌碼或在集合圈內圈一圈，和蘇教版教材中的“圈一圈” “分一分”類似。

第二種：聯系減法，以12÷2求商為例，12連續減2，減6次之后為0，則商為6。

第三種：聯系乘法，這種和用口訣求商類似，只是這里是利用乘法算式求商。

第四種：利用一組有關聯的算式求商。

第五種：Bar Models(條形模型)，利用幾何直觀，用長條代替數字思考。

第六種：陣列模型，利用方塊進行直觀操作，形成行列數分別為兩個因數的陣列來尋找答案。

接下來，正式教學除法求商的階段。蘇教版教材教學用口訣求商的例題以“除以2”開始，而Go Math教材也有這個內容，接下來我們就以“除以2”為例，具體看一看兩版教材是如何分別教學求商方法的。

蘇教版教材在例題中預設了四種方法：1.直觀操作；2.聯系減法；3.聯系乘法意義；4.口訣求商。查閱教參，有如下說明：學生如果沒有出現聯系減法來求商，可以不用介紹。實際教學時，教師也將大量時間花在“用乘法口訣求商”這種方法上，從例題的重點指導到課后練習的設計，力求每位學生都能掌握“用乘法口訣求商”這種方法，至于例題中出現的另三種方法，在課后練習中未出現。

Go Math教材“除以2”預設了兩種方法，都是直觀操作活動，教材這一頁的標題也很醒目：“除以2(或者被2除)”，教材本頁還呈現了本課的基本問題：“除以2”的含義是什么？接著呈現本課的學習目標：你將學習用籌碼來構建“除以2”的模型并且寫出除法算式。

Go Math教材中的例題被稱為“解鎖真實世界的問題”， 活動1的問題是：瑪麗莎的后院有10只蜂鳥，2個飼養員，如果每個飼養員養的蜂鳥只數相等，那么他們每個人養幾只？右邊呈現提示性的問題或操作指南：

“你需要找出什么？”

“圈出你需要用到的數字。”

“你準備用什么工具來幫助解決問題？”

學生將依據這樣的思考和操作步驟，聚焦問題，解決問題。

活動2的問題與之相反，是平均分的另一種分法，同樣地能通過提示性問題和操作指南幫助學生解決問題。

因為沒有乘法口訣，我們可以發現，Go Math教材“除以2”只教了直觀操作的方法，而同時，因為有乘法口訣，蘇教版教材開始聚焦這種方法，并在課后練習中大量使用。

之前我們說過Go Math教材第7單元“除法策略”的編排順序有些特別，蘇教版教材“除以2”之后，就是教學“除以3”，因為乘法口訣的編排順序就是按9以內數字大小順序編寫，而Go Math教材在“除以2”之后，安排的是“除以10”，學習用乘法表求商，Go Math教材的乘法表是10×10的表格。以50÷10為例，明確告知學生：“因為除法是乘法的逆運算，所以你可以用乘法表來求商。”教學生先在頂欄找到因數10，然后向下找到乘積50，再向左找到未知因數5，商就是5。之后教學“除以5”，因為“除以5”可以用“除以10”的商倍加，舉例來說，就是20÷10是2，那么20÷5就是2加2，商是4。“除以4”，可以是先“除以2”，再“除以2”，“除以6”相當于先“除以2”，再“除以3”，因為除以一個數等于分別除以這個數的因數。還有求商也可以用加法算，商是除數累加到被除數的次數等等，基于這樣的分析，我們可以認為這樣的編排順序是為了要結合數字特點教學不同的除法求商策略而有意為之的。

從委員會的架構可以看出，赫爾辛基委員會的組織架構非常成熟，委員會自上而下內部分工科學、明晰，與外部的整合、拓展和跨界合作也已經得到很好的機制化。波羅的海海洋環保合作重視決策科學性的特色、多元主體的參與的特色、跨界合作的特色等都通過制度化設計的方式得以固定下來。赫爾辛基委員會的良好運行，使得公約和波羅的海行動項目的各項規定和措施得以有效的落實。同時，委員會在海洋環保合作實踐過程中不斷積累經驗、發現問題、積極調整和整合新的政策領域，使得委員會成為一個組織完整性、包容性程度很高的不斷成熟的組織。

三、中美教材編排的側重點是否一樣

通過對兩版教材的梳理，蘇教版在教學完用1-6的乘法口訣求商之后，通過大量的算式和解決問題練習來幫助學生熟練掌握用口訣求商的方法，力求的是“又對又快”。而Go Math教材會根據數字特點教學不同的求商策略。我們很容易想到：蘇教版教材更側重正確并熟練計算，而Go Math教材更加關注策略，教會學生利用四則運算之間的關系、各種模型及運算規律來解決問題。

教科書的編寫體現的是課程標準的“意志”，兩國教材編排的側重點如此不同，在課程標準中可以尋找到源頭。我國課程標準中有關“表內除法”的要求是：

1.結合具體情境，體會整數四則運算的意義。

2.能熟練地口算表內乘除法。

而CCSSM將這部分內容歸類為“運算和代數思維”領域，具體要求為：

表征和解決有關乘除法的問題；理解乘法的性質以及乘除法之間的關系；100以內的乘除法；解決含有四則運算的問題，認識和解釋其中的算術規律。

四、美國Go Math版教材有哪些值得學習和借鑒的地方

(一)教材設計更符合認知規律

Go Math教材既有呈現全冊各單元內容的總目錄，每個單元也會有各自的目錄，目錄頁中會有本單元的基本概念的解釋、本知識體系的概念圖以及本單元力求解決的問題等。以第6單元為例，單元目錄中介紹了本單元要研究的問題：怎樣用除法來找到“組”的大小或 “組”的數量？乘除法有怎樣的聯系？什么模型能幫助做除法？怎樣利用減法來做除法？反觀國內的幾版教材，基本上只有全書目錄頁且只呈現各單元名稱，沒有單元目錄頁，學生也無法從教材中清晰地感知到每節課的數學問題和學習目標，教材的練習功能大于指導功能。

(二)早期代數思維的引入嘗試

(三)對教學的啟示

首先，我們要有文化自信，乘法口訣是祖先的智慧，從幾個相同加數的和開始，到用乘法算式表示，再到用口訣幫助記憶算式及結果，口訣是求幾個相同加數和的記憶載體，用口訣求商使中國學齡兒童在表內除法計算中擁有一定的優勢。

但是，作為數學教師，我們更要明白，乘法口訣是求商的一種策略，但不是全部策略，結合直觀操作、減法模型、分解因數等也可以求商，而且這些策略既可以幫助學生更好地理解四則運算的含義及相互關系，更可以適應更復雜的情境及開放性問題。