模糊廣義決策信息系統(tǒng)的證據(jù)特征與信任約簡

王志煥, 游小英, 李偉康, 李進金,

(1. 華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021；2. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 漳州 363000)

模糊集理論[1]是Zadeh教授提出的一種用于刻畫目標對象模糊程度的方法.隨著模糊集理論的不斷發(fā)展，其應(yīng)用范圍也越來越廣.波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak等[2]提出粗糙集理論，它是一種數(shù)據(jù)處理的數(shù)學(xué)方法.模糊集和粗糙集理論都是用于研究不確定性的數(shù)學(xué)工具，將二者結(jié)合起來研究具有實際應(yīng)用價值.目前，已有眾多學(xué)者對模糊粗糙集的模型及約簡問題[3]進行研究.陳應(yīng)生等[4]通過研究屬性重要性度,進而研究不完備信息系統(tǒng)的屬性約簡.Dubois等[5]通過引入模糊相似關(guān)系，最早系統(tǒng)地提出模糊粗糙集理論.Jensen等[6]利用依賴函數(shù)，首次設(shè)計出一種模糊粗糙集模型的屬性約簡算法.趙晉歡等[7]構(gòu)造辨識矩陣對模糊粗糙集進行屬性約簡，并進行相關(guān)實驗.陳毅寧等[8]引入基于距離比值尺度的樣本集定義，提出基于距離比值尺度的模糊粗糙集，并設(shè)計屬性約簡算法.

證據(jù)理論[9-10]提供了一種處理不精確信息的人工智能方法[11]，它能與粗糙集有效結(jié)合進行數(shù)據(jù)處理.根據(jù)粗糙集與證據(jù)理論的關(guān)系，一些學(xué)者通過證據(jù)理論研究模糊粗糙集的信任結(jié)構(gòu)與屬性約簡問題，并取得一定的成果.Chen等[12]根據(jù)模糊上近似概率與模糊下近似概率探索兩種類型的模糊信任和似然函數(shù).Wu等[13]利用廣義模糊蘊涵算子[14]，在無限論域中導(dǎo)出廣義模糊信任結(jié)構(gòu).在此基礎(chǔ)上，Yao等[15]對模糊決策系統(tǒng)的屬性約簡問題進行研究.Lu等[16]通過定義一種新的概率測量，研究第2型模糊粗糙集的信任和似然函數(shù).模糊粗糙集理論的決策大多建立在劃分的基礎(chǔ)上，但以劃分刻畫決策具有一定的局限性.在現(xiàn)實問題中，多數(shù)決策是由覆蓋類刻畫的，但關(guān)于決策為覆蓋的模糊粗糙集理論的研究并不多見.基于此，本文對模糊廣義決策信息系統(tǒng)的證據(jù)特征和信任約簡進行研究.

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)集合U為非空論域，當U上的集合X滿足由U上一隸屬函數(shù)X:U→[0,1]表示，則稱X為U上的模糊集.其中，X(x)表示x隸屬于模糊集X的程度.記U上的模糊集全體為F(U).

假設(shè)A,B∈F(U)，定義模糊集的運算為(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)=max{A(x),B(x)}；

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)=min{A(x),B(x)}；～A(x)=1-A(x).

定義2[5]設(shè)集合U為非空論域，將U×U上的模糊集合R稱為U上的一個模糊關(guān)系.?x,y,z∈U，對于U上的模糊關(guān)系R，有

1) 若R(x,x)=1，則稱R是自反的；

2) 若R(x,y)=R(y,x)，則稱R是對稱的；

3) 若R(x,z)≥R(x,y)∧R(y,z)，則稱R是傳遞的.

若R滿足自反、對稱關(guān)系，則稱R是U上的模糊相似關(guān)系；若R滿足自反、對稱和傳遞關(guān)系，則稱R是U上的模糊等價關(guān)系.文中討論的模糊關(guān)系是論域U上的模糊相似關(guān)系R.

定義3稱(U,C,D)為模糊廣義決策信息系統(tǒng).其中，集合U為論域，集合C={C1,C2,…,Cm}為非空有限模糊條件屬性集，U上覆蓋D={D1,D2,…,Dr}為決策集.

定義4[14]設(shè)U為論域，對?x,y∈[0,1]，定義模糊蘊涵算子I:[0,1]×[0,1]→[0,1]，有

I(x,y)=∧((1-x)∨y).

容易看出，該模糊蘊涵算子滿足I(1,0)=0，I(1,1)=I(0,1)=I(0,0)=1.

性質(zhì)1[5]設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X,Y?U，?B,B1,B2?C，則有

2)X?Y?RBX?RBY；

4)B1?B2?RB1X?RB2X.

定義6[5]設(shè)(U,C,D)為模糊廣義決策信息系統(tǒng)，覆蓋D={D1,D2,…,Dr}為決策集，對?Di∈D,1≤i≤n，Di的下近似與上近似隸屬函數(shù)分別為

定義7[5]設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，覆蓋D={D1,D2,…,Dr}為決策集，1≤i≤r，?B?C，定義模糊正域為

證據(jù)理論中的相關(guān)概念如下.

定義8[9-10]設(shè)U為論域，若集函數(shù)m:2U→[0,1]，有

1)m(?)=0,

則稱m為基本概率指派.

根據(jù)基本概率指派，可以導(dǎo)出如下信任函數(shù)和似然函數(shù).

定義9[9-10]設(shè)U為論域，m:2U→[0,1]是基本概率指派，有

顯然，信任函數(shù)與似然函數(shù)對偶，即Bel(X)=1-Pl(～X).此外，信任函數(shù)還滿足

1) Bel(?)=0;

2) Bel(U)=1;

2 模糊廣義決策信息系統(tǒng)的證據(jù)特征

基于證據(jù)理論研究模糊廣義決策信息系統(tǒng)的數(shù)值特征，即模糊廣義決策信息系統(tǒng)的證據(jù)特征.首先，定義一個概率測量函數(shù)度量模糊集的集合質(zhì)量.

定義10設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)(U,C,D)，U={x1,x2,…,xn}，對于?X∈F(U)，Q是論域U上一個概率測量，定義模糊集X的概率為

然后，定義一個函數(shù)用于構(gòu)造模糊基本概率指派.

定義11設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X∈F(U)，?B?C，定義函數(shù)jB:F(U)→P(U)，即

jB(X)={x∈U|RB(x,y)=X(y),?y∈U}，

則jB(X)滿足

1) ?X,X′∈F(U)且X≠X′，jB(X)∩jB(X′)=?；

證明：1) 假設(shè)存在x∈U，使x∈jB(X)∩jB(X′)，則RB(x,y)=X(y)=X′(y)，這與X≠X′矛盾.因此，對?X,X′∈F(U)且X≠X′，有jB(X)∩jB(X′)=?.

用以上定義的函數(shù)構(gòu)造一個集函數(shù)，并證明其符合基本概率指派的兩條性質(zhì)，即證明該集函數(shù)為模糊基本概率指派.

定理1設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X∈F(U)，?B?C，定義模糊集函數(shù)mB:F(U)→[0,1]，有

則mB為論域U的一個模糊基本概率指派.

綜上，mB為U的一個模糊基本概率指派.

對于X∈F(U)，mB(X)表示證據(jù)對X的模糊信任度.若mB(X)>0，則稱X為mB上的焦元.設(shè)Μ為所有焦元的并，稱其為核，則稱二元序?qū)?Μ，mB)為U上的模糊信任結(jié)構(gòu).

根據(jù)模糊概率指派函數(shù)，可直接導(dǎo)出模糊信任函數(shù)和模糊似然函數(shù).

經(jīng)典的信任函數(shù)Bel:P(U)→[0,1]，可以把信任函數(shù)定義為

上式中：P(U)為論域U上的全體經(jīng)典集；I(A,X)為A在X中的包含度，當A?X時，I(A,X)=1，否則，I(A,X)=0.

把經(jīng)典的信任函數(shù)推廣到模糊的情況下，則對?X∈F(U)，可以定義模糊集函數(shù)Bel:F(U)→[0,1]，即

上式中：I(A,X)表示A包含于X中的程度.

定義12設(shè)U為論域，對?A,X∈F(U)，定義蘊涵函數(shù)I:[0,1]×[0,1]→[0,1]，有

則模糊信任函數(shù)的形式變?yōu)?/p>

用模糊基本概率指派函數(shù)直接導(dǎo)出模糊信任函數(shù)和模糊似然函數(shù).

定理2設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X∈F(U)，?B?C，定義模糊集函數(shù)BelB:F(U)→[0,1]，即

則BelB為U上的模糊信任函數(shù).

證明：根據(jù)定義5、定義10～12及定理1，有

定理3設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?X∈F(U)，?B?C，定義模糊集函數(shù)PlB:F(U)→[0,1]，有

則PlB為U上的模糊似然函數(shù).

證明：由信任與似然函數(shù)對偶的性質(zhì)，有

由定理2，3可知：模糊廣義決策信息系統(tǒng)中的模糊下近似、上近似集合的質(zhì)量可以用證據(jù)理論中的信任函數(shù)和似然函數(shù)來刻畫.

由此，建立模糊廣義決策信息系統(tǒng)與證據(jù)理論的聯(lián)系，得出模糊廣義決策信息系統(tǒng)基于證據(jù)理論的數(shù)值特征.下文給出一個實例，用以計算信任函數(shù).

例1考慮評估信用卡申請人的問題.設(shè)U={x1,x2,x3,x4,x5}是5個申請人的集合，有4個模糊屬性來評估這些申請人：C={C1,C2,C3,C4}.其中，C1表示“教育程度較高”；C2表示“教育程度一般”；C3表示“收入較高”；C4表示“收入一般”.所有申請人在每個模糊屬性上的隸屬度,如表1所示.

表1 申請人信息Tab.1 Applicant information

若決策為D={D1,D2,D3}，其中，D1表示“待定”；D2表示“申請成功”；D3表示“申請失敗”.

對于每個模糊屬性Ck，可以定義模糊相似關(guān)系，即

同時，定義模糊相似關(guān)系R(x,y)=min{RCk(x,y)|Ck∈C},?x,y∈U.

根據(jù)定義的模糊相似關(guān)系，可以計算出申請人的模糊關(guān)系，如表2所示.假設(shè)決策為D1={x1,x4}，

表2 申請人的模糊關(guān)系Tab.2 Fuzzy relationship of applicant

D2={x2,x5}，D3={x1,x3,x4}，求解RD1.

根據(jù)定義6可知

同理可知

RD1(x2)=RD1(x3)=RD1(x5)=0，

RD1(x4)=0.9，

則有

可以計算信任函數(shù)，即

同樣可計算出

3 模糊廣義決策信息系統(tǒng)的信任約簡

定義13設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)為(U,C,D)，?B?C，?x∈U，定義

1) 若LB(x)=LC(x)，?x∈U，則B是(U,C,D)的模糊下近似協(xié)調(diào)集.進一步地，若對?B′?B，有LB′(x)≠LC(x)，則稱B是(U,C,D)的模糊下近似約簡集.

定理4設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)(U,C,D)，?B?C，則

2) 由上文及單調(diào)性可證明.

顯然，可以得到定理5.

定理5設(shè)模糊廣義決策信息系統(tǒng)(U,C,D)，若B是模糊下近似協(xié)調(diào)集，Sig(Ci,C-{Ci})>0，則Ci∈B.

根據(jù)定理5可知，關(guān)于C的重要度大于0的屬性，必屬于它的下近似協(xié)調(diào)集.

由以上定義，可以得出模糊廣義決策信息系統(tǒng)的約簡算法.

算法1模糊廣義決策信息系統(tǒng)的下近似約簡算法如下.

輸入：模糊廣義決策信息系統(tǒng)(U,C,D)；

輸出：模糊下近似約簡集B.

步驟1令B=?；

步驟2對于任意的Ci∈C，計算Sig(Ci,C-{Ci})；

步驟4對于任意的Ci∈C-B，計算Sig(Ci,B)；

步驟5若Ci0∈C-B,滿足Sig(Ci0,B)=max{Sig(Ci,B)|Ci∈C-B}，令B=B∪{Ci0}；

通過一個例子驗證算法1.

例2用算法1計算例1的下近似約簡.

根據(jù)算法1，首先計算

Sig(C3,C-{C3})=0,

Sig(C4,C-{C4})=0.

4 結(jié)束語

研究模糊廣義決策信息系統(tǒng)的證據(jù)特征，利用證據(jù)理論對模糊廣義決策信息系統(tǒng)中的模糊近似進行數(shù)值度量.此外，還利用證據(jù)理論中的信任函數(shù)給出重要度的定義，提出模糊廣義決策信息系統(tǒng)約簡的算法，并給實例計算.覆蓋類多粒度粗糙集屬性約簡的仿真實驗,以及不同覆蓋近似算子約簡的聯(lián)系是亟待解決的問題，也是下一步的研究方向.