從極限簡易定義談高等數學通俗化教學

孫波

[摘 要] 簡要分析了我國高等數學教育的歷史、現狀和大眾化教育下存在的問題與矛盾，以極限簡易教學設計探討高等數學通俗化教學。主要觀點是讓數學回歸生活，回歸自然，充分體現高等數學的應用性目的與功能。

[關鍵詞] 高等數學;通俗化教學;極限簡易

[作者簡介] 孫 波（1965—），男，湖南澧縣人，博士，湖南科技學院理學院教授，研究方向為應用數學。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）39-0238-02 ? ?[收稿日期] 2019-12-31

一、引言

極限是微積分的靈魂，是貫穿微積分理論體系的線索。其精髓在于用ε和N嚴格定義了數列極限;用ε和δ嚴格定義了函數極限。正是有了這樣嚴格的定義，才使得數學史上似零又非零的無窮小得以澄清，使得憑直覺看出的結論經過證明絕對可靠。然而，從數學教育和應用角度來看，也恰恰因為極限定義之高深把很多學子攔在了門外。受前蘇聯高等教育的影響，我們的理工科教學一直偏重理論嚴謹。公共數學課盡管不像《數學分析》那樣嚴密，但基本上還是遵循著從定義到定理推導的理論模式，至少極限定義那一節還得把ε和N、δ擺弄一番。至于學生到底聽懂沒有，聽得厭倦與否似乎無暇顧及。當然，我們的傳統教法有其歷史合理性，我國現代高等教育源于計劃經濟年代的精英教育。幾十年以前的大學生是國家作為干部和專業技術人才計劃招收和培養的，基礎好，素質高，強調基礎理論功底很正常，也很必要。

時移世易，變法宜也。短短20余年，我國高等教育發生了滄桑巨變。隨著招生規模倍增，大學及大學生層次水平跨度拉大，既包含了才思敏捷勤奮好學的英才，也不乏初等數學都沒過關的。我就碰到過連（a+b）如何展開都不知道的數學專業本科生和120度角正弦都回答不了的工科生。當然，產生這種奇怪現象的原因是多方面的，以升學率和考綱為指揮棒的中學教學目標管理可能也是原因之一。用李大潛先生的話講：“他們只管把學生送進大學，至于以后怎樣就不管了。”我們管不了中學教育，但我們面對的課堂現狀是，不管你怎么講，總有幾個聽不懂，不愛聽的。另外，手機這一天敵無時不在干擾課堂教學，可以說大學老師特別是數學老師已經很難按傳統模式教下去了。而主導國內高數教學的教材并沒有與時俱進地簡化處理，任課教師也只好照書硬著頭皮講下去。

殘酷的現實逼得我們不得不考慮這樣一個問題：到底能不能忍痛割愛，淡化嚴格定義和推理體系，讓學生繞開那道高高的門檻和“九九八十一難”拿到工科計算需要的數學工具呢？

二、極限簡易教法

它山之石，可以攻玉。或許是因為美國中小學教育松散粗放，學生理論功底不高，他們的高數教程一般編得通俗簡捷，省去了大量抽象定義和證明，倒是把力氣花在了該花的地方，介紹大量物理工程及社會經濟案例模型。他們甚至可以避開ε和δ講完微積分。本文摘錄Hofstra大學編寫的應用微積分（Calculus with Applications）教材極限章節予以說明，以期拋磚引玉，和國內同行共商高等數學教學改革。

上述定義顯然非正式，或者說不嚴格，因為“越來越接近”和“任意靠近”并沒有進一步定義。但這種非正式描述并不妨礙學生理解極限概念。正式嚴格定義的作用主要是為了證明極限運算法則和一些后續高深結論，而極限的運算法則本來就容易理解，甚至可以說無師自通。可以不加證明地直接給出。只要承認了極限運算法則，微積分主要結論基本上都可推導過去。除了極限的加減乘除基本運算法則外，有些推論甚至也可作為運算法則直接列出，如常值函數的極限等于它本身：

當然實數α應使得冪運算有定義。

數列極限的定義也可類似簡化處理：省掉ε和N，同時不加證明地給出運算性質。國內教材一般通過古老的割圓術導出數列和極限概念，應該說是經典之作。可現在很多大學生聽課自覺性不高，對一些遠離生活的高深話題不感興趣。現實對大學教學特別是數學教學提出了嚴峻挑戰，嚴格要求學生反過來又會影響他們對教師的教學評價。筆者拿銀行活期存款結息引入數列概念，首先擺出兩張存折圖片，然后引入話題：自然界和人類社會有些數量變化過程表現為離散形式，如中國農業銀行活期存款每季度末的21號結息一次，于是每張存折每季度出現一個利息數字。假設某張存折永不銷戶，則其所有利息數字按時間順序排列起來構成一數列。再把話題進一步展開，隨意構造幾個數列。

三、教學效果

筆者首次在二類本科院校拋開嚴格定義，只按描述性方式講解極限，大部分學生都能聽懂，課堂抬頭率明顯提高。四個教學班130名學生期中考試看圖像判斷極限答題正確率在95%以上，說明學生理解了極限概念。但課本現成例題數列（1+1/n）的極限卻丟分較多，很多學生填1，也有填∞的。有的這個題填對了（e），但接著把x趨于零時（1+x）的極限填成了1。或許這已不是個別現象，說明了大眾化教育下學生的抽象推理能力下降。按傳統命題風格和課程考核標準就當淘汰一大片，而現行教學和學位管理體制還是要讓學生都通過課程畢業。教師能做的就只能是降低門檻，簡化內容和表述方式，基本滿足工科專業課的數學需要了。筆者萬般無賴之下發動學生用手機計算器算n=10，100時（1+1/n）的值，看出它向e靠攏;再算x=0.1，0.01時（1+x）的值，學生還是能說出它們的極限是e。看來，以算代推也是一種辦法。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時類型）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]Gilbert Strange，Calculus，Wellesley-Cambridge Press.

[5]M.L.Lial，Calculus with Applications，Springer-Verlag，2010.