例談中考數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題

摘 要 圖形中的折疊問(wèn)題是近幾年中考數(shù)學(xué)中每年必考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，折疊問(wèn)題的對(duì)象主要是正方形、矩形、直角三角形等，考察問(wèn)題以求折點(diǎn)位置、求折線長(zhǎng)、求重疊面積、求角度等為主。本文試圖結(jié)合實(shí)例談?wù)勚锌紨?shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題。

關(guān)鍵詞 對(duì)稱軸 折疊問(wèn)題 中考數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

折疊問(wèn)題主要是考察中考數(shù)學(xué)中的軸對(duì)稱性質(zhì)，其折線是對(duì)稱軸，折線兩邊對(duì)應(yīng)圖形全等，并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸所垂直平分，對(duì)應(yīng)邊平行或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。折疊問(wèn)題的題型變化多樣，一般地，從考察學(xué)生的空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題，到直接運(yùn)用折疊問(wèn)題的相關(guān)性質(zhì)的證明計(jì)算題，發(fā)展到基于折疊問(wèn)題的綜合應(yīng)用題，乃至壓軸題。考察的目的日漸明確，主要是想考察學(xué)生的“四基”、“四能”中的空間想象能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，所以分析總結(jié)中考數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題很有必要。

1利用折疊問(wèn)題求折點(diǎn)位置

例1：在平面直角坐標(biāo)系XOY中，點(diǎn)A在OX正半軸上，點(diǎn)B在OY正半軸上，∠AOB = 90埃琌A = 2，OB = 4，將該紙片OAB沿折痕EF折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，設(shè)折痕EF交OB于F，交AB于E，試求點(diǎn)F的坐標(biāo)。（湖南長(zhǎng)沙中考題）

分析：充分利用折疊問(wèn)題中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕所垂直平分這一性質(zhì)，可得BE=AE，BF=AF，然后利用勾股定理可得OF的長(zhǎng)度，從而求出F的坐標(biāo)。

解：連接AF，設(shè)OF=x，則有BF=AF=4Hax，于是在Rt%=OAF中，由勾股定理得

x2 + 22 = （4 Ha x）2，解得x = ，從而有F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）

2利用折疊問(wèn)題求折線長(zhǎng)

例2：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB = 4，AD = 3，折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合，折痕為DG，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)BD上的點(diǎn)E，求EG的長(zhǎng)為多少？（湖北荊州中考題）

分析：利用折疊問(wèn)題中的折線兩邊對(duì)應(yīng)的圖形全等這一性質(zhì)將所要求的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化在同一個(gè)直角三角形中，再利用勾股定理即可求出需要求的折線長(zhǎng)。

解：設(shè)AG = x，則利用折疊的性質(zhì)可知GE = x，DE = 3并且有GB = 4Ha x，又因?yàn)锳B = 4，AD = 3，所以BD = 5，BE = 5 Ha 3 = 2，那么在Rt%=BGE中，由勾股定理有x2 + 22 = （4 Ha x）2，解得x = ，于是有EG = 。

3利用折疊問(wèn)題求重疊面積

例3：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB = 4，AD = 2，將矩形紙片沿折痕EF折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求它們重疊部分三角形ECF的面積是多少？（山東淄博中考題）

分析：要求圖中重疊部分即三角形ECF的面積是多少，因?yàn)槠涓邽?，所以即要求出其底邊FC即可，根據(jù)折疊的性質(zhì)知四邊形AEFD與四邊形CEFG關(guān)于折痕EF對(duì)稱，所以它們?nèi)龋谑怯蠨F = GF，AD = CG，再利用勾股定理即可求出FC的長(zhǎng)度。

解：DF = x，則有FG = x，F(xiàn)C =4 Ha x，GC = AD = 2，∠G=∠D = 90埃栽赗t%=GCF中，由勾股定理可得x2 + 22 = （4 Ha x）2，解得x = ，所以FC =4 Ha x =

故重疊部分三角形ECF的面積 =? ?2? 2= .

4利用折疊問(wèn)題求其角度

例4、在直角三角形ABC中，∠ACB = 90埃螦 = 50埃珼為斜邊AB上一點(diǎn)，沿CD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CB上的點(diǎn)E處，折痕為CD，則∠EDB = ？（浙江紹興中考題）

分析：由折疊圖形的性質(zhì)可知三角形ACD與三角形ECD關(guān)于折痕CD所在的直線成軸對(duì)稱圖形，所以∠DEC = ∠A，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形BDE的角的關(guān)系問(wèn)題。

5結(jié)語(yǔ)

從以上中考數(shù)學(xué)的實(shí)例可以看出，圖形中的折疊問(wèn)題實(shí)際上就是利用折疊的性質(zhì)將相應(yīng)的邊、角轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，由于折疊問(wèn)題的對(duì)象主要是正方形、矩形和直角三角形，所以轉(zhuǎn)化的這些邊、角往往是在一個(gè)直角三角形中，然后再利用勾股定理，即可求得所要求的邊長(zhǎng)、折點(diǎn)的坐標(biāo)、三角形的周長(zhǎng)、角或者面積等等。事實(shí)上，折疊問(wèn)題還有很多在相似圖形中的應(yīng)用，這也是利用折疊圖形對(duì)應(yīng)邊平行或者是對(duì)應(yīng)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在其對(duì)稱軸上，總之折疊問(wèn)題主要是要充分利用其性質(zhì)，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化與化歸”的思想進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，然后就可使得所要求的問(wèn)題迎韌而解。

作者簡(jiǎn)介：胡益（1968.6-）女，漢，湖北武漢，本科，中學(xué)高級(jí)，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)。