參數化弧齒錐齒輪建模分析

◎何 昕 許嘉豪 韓文虎

（1.黃河水利職業技術學院機械工程學院，河南開封475004；2.河南科技大學機電工程學院，河南洛陽471003）

我國機械行業發展迅猛，對機械傳動領域研究進一步深入，其中齒輪傳動是機械傳動中最為重要的傳動方式。近些年高校在齒輪的科學研究和項目建設投入逐漸增長，考慮到在齒輪行業中相交軸齒輪承載能力和嚙合性能較為優異，對相交軸齒輪的研究也進一步完善，特別是弧齒錐齒輪，其傳動性能穩定，在高速、重載的相交軸傳動中應用非常廣泛[1]，通過對這種齒輪的理論研究和技術創新對機械工業的發展會有一定的推動作用。

通過建模發現，弧齒錐齒輪的齒面是空間復雜曲面，所以該種齒輪的設計和加工復雜，并且弧齒錐齒輪的生產制造精度和強度要求較高，如何以低成本、高效率生產出精度和硬度都能滿足規格要求的弧齒錐齒輪，是當前弧齒錐齒輪生產制造中普遍關注的問題[2-3]。為了提高弧齒錐齒輪設計分析效率和精度，筆者提出了參數化建模弧齒錐齒輪，只改變齒輪的主要參數就可對不同參數的齒輪進行分析、建模，以此提高齒輪設計效率和理論分析精度。

以參數化建模思想為基礎，通過VB 語言編寫出輪坯幾何參數計算程序，以及基于弧齒錐齒輪的嚙合原理編寫的齒面點求解程序，可以建立精確的弧齒錐齒輪三維模型，達到參數化建模、分析計算的目的。通過對齒輪副模型進行靜力學分析，比對仿真運動接觸區域結果基本一致，完善和驗證了弧齒錐齒輪參數化設計理論的可行性。

1 弧齒錐齒輪精確參數化三維建模

1.1 齒輪輪坯參數化精確建模

弧齒錐齒輪的三維模型建立分為兩個部分，首先需要根據齒輪的基本幾何參數繪制出弧齒錐齒輪輪坯三維模型。而對于弧齒錐齒輪來說，其主要幾何參數計算較為繁雜，計算起來非常的煩瑣，對不同幾何參數的錐齒輪的設計還需要重新計算，十分耗時。筆者從提高計算、分析效率出發，利用VB 語言編寫幾何參數計算程序，能夠有效且正確計算出輪坯幾何參數，提高計算精度以及設計效率，如圖1 所示為輪坯參數示意圖。

從錐齒輪的輪坯參數圖可以發現，弧齒錐齒輪結構復雜、參數較多，通過以一對齒數為20 和22 的弧齒錐齒輪為例，對其進行參數化建模分析，以驗證編寫的程序正確、高效，驗證參數化建模模型的精度和科研可用性，其中弧齒錐齒輪副的主要幾何參數如表1 所示：

圖1 輪坯參數示意圖

表1 齒輪幾何參數

通過VB 語言編寫相關參數計算程序，在很大程度上減小了錐齒輪參數計算的任務量。同時為了滿足編寫程序的可視性，設計出齒輪基本參數計算輸入窗口，如圖2 所示分別為齒輪基本幾何參數輸入窗口和計算后的輪坯幾何參數輸出表。

圖2 幾何參數計算

在得到輪坯詳細的幾何參數后，可以在UG中建立精確的輪坯模型，筆者所采用建立輪坯的方法，一定程度上避免了人工計算的失誤，同時也提高了計算精度和效率，滿足后續力學分析、嚙合分析要求和需要。如圖3 所示為輪坯三維模型。

圖3 小輪輪坯模型

1.2 輪齒曲面參數化建模思想

弧齒錐齒輪的齒面是空間曲面，齒面結構異常復雜，因此齒面無法直接用方程表達出來而進行精確建模[4-7]。

筆者基于局部綜合法，建立大輪產成坐標系推導大輪齒面方程：大輪的齒面是刀具切削面所包絡形成的，切齒時內外刀切削刃繞刀盤中心主軸旋轉形成了兩個切削錐面；與此同時，搖臺以一定的速度和角度與被加工齒輪也繞各種軸線旋轉，從而展成出大輪齒面。

如圖4 所示為弧齒錐齒輪產成坐標系，在圖4 中：坐標系Sm是以機床中心Om為坐標原點，以與搖臺主軸垂直的平面為XmOmYm面，Sq是建立在搖臺上的坐標系，在切齒時，Sq繞Sm的坐標軸Zm旋轉。

在齒輪加工過程中，選取切削刃上面一點，在切削過程的任一瞬間，通過坐標系轉換，推導計算出齒面上對應的這一點的坐標值。在切削刃上取一系列的點族，通過坐標系變換，可以構成齒輪的齒面點族。通過求解出的齒面點族在三維軟件中擬合出弧齒錐齒輪齒面，從而達到精確建模的目的。

圖4 大輪產成坐標系

通過分析弧齒錐齒輪的加工過程，可以求解出其齒面方程，繼而通過VB 語言編制齒輪齒面點求解程序，在編寫程序時，以齒輪基本參數為變量，在研究設計不同參數的齒輪時，只需改變齒輪基本參數即可得到不同參數齒輪的齒面點族。

1.3 輪齒曲面建模

通過VB 語言對齒面方程處理后，只需要輸入齒輪基本參數即可求得弧齒錐齒輪齒面片空間坐標點族。參數化編寫齒面點的求解程序，可以對不同模數和齒數的齒輪進行齒面點的求解，提高了理論分析的效率和三維建模的精確性，通過此種方法所建立的模型，可以用于有限元分析和靜力學分析而不影響分析精度，如圖5 所示，為通過MATLAB 編制的齒面點求解參數輸入程序窗口，只需要輸入基本參數，就可求得齒輪的齒面點族。

圖5 齒輪參數輸入窗口

通過所編寫的程序，算出輪齒面點族數據，對齒面點族數據進行處理輸出為DAT 格式文件，將齒面點族DAT 文件導入UG 中生成弧齒錐齒輪的齒面片（齒輪的凹面和凸面）模型。對弧齒錐齒輪的凹凸齒面片進行縫合，可以生成一個齒槽模型。如圖6 所示為弧齒錐齒輪大輪的齒槽模型。

圖6 齒輪齒面片

2 齒輪副運動仿真

2.1 齒輪精確建模

弧齒錐齒輪的三維模型要滿足靜力學等CAE 分析精度，同時模型也要貼合實際生產齒輪幾何構造。為了驗證參數化建模模型的精度，在UG 中對齒輪副進行虛擬滾檢分析，得到齒面接觸區域后可以和后續靜力學分析結論進行比對相互驗證正確性。

對齒輪進行建模，調取生成的齒槽曲面在UG 中對上節參數化建模得到的輪坯模型進行切割處理，可以在輪坯上切割出一個齒槽，如圖7 所示。

圖7 切割齒槽

在建立的主、被動齒輪輪坯上切割出齒槽后，還要分別通過主、被動輪的齒數，分別陣列出本次所分析的弧齒錐齒輪主、被動輪齒數，完成齒輪的精確數學建模，在建模的同時，要注意調整大輪和小輪的坐標系和旋向，為下面的運動仿真做模型基礎，如圖8 示為大輪和小輪的三維模型。

圖8 齒輪三維模型

2.2 接觸區模擬運動仿真

通過齒輪副運動仿真可以模擬齒輪副嚙合狀態下的接觸區域：將主動輪和從動輪裝配在一起進行運動仿真，給主動輪一定轉動速度，模擬弧齒錐齒輪在嚙合狀態下的齒面接觸情況，通過齒面上的接觸區域觀察齒輪副的嚙合性能，同時對下面齒面接觸分析和靜力學分析作出參考比對依據[8-9]，如圖9 所示為該通過虛擬滾檢分析實驗得到的齒輪副虛擬滾檢接觸區域圖，其中上面的齒輪為主動輪，下面的齒輪為被動輪，兩輪齒面之間紅色區域為仿真運動得到的虛擬滾檢區域。

圖9 運動仿真

3 齒輪靜力學分析

參數化建立的齒輪副模型精度能夠滿足理論分析需要，貼合實際工況，為了進一步驗證弧齒錐齒輪三維模型的精度，對其進行齒輪副靜力學分析，首先在ANSYSWOKBENCH 有限元分析軟件中導入建立的齒輪副三維模型，生成齒輪有限元模型。

以上節中弧齒錐齒輪副三維模型為例，導入到有限元軟件中，如圖10 所示為生成齒輪副的有限元模型，本課題所生成的齒輪三維模型是通過精確的齒面點建立的模型，在分析齒面接觸應力在齒面上的分布情況和變化規律時計算精度可以得到有效提高。

圖10 齒輪副有限元模型

在靜力學分析中，設定大輪為從動輪，小輪為主動輪。在軟件中可以自動生成齒輪副的齒面接觸對（見圖11），同時在大輪軸孔出添加150N·M 的轉動扭矩。小輪輸出一個轉角，這里給定轉角為25 度，模擬實際嚙合狀態下的齒輪副變形和應力分布情況。通過靜力學分析，可以明顯看出齒輪副的接觸區域變化情況以及應力分布狀態，對應力集中的部位可以進行設計更正，避免由于應力集中對齒輪造成的破壞，同時也可以對上節所做的運動仿真結果進行比對，驗證分析結果，如圖12 所示，為靜力學分析后的齒輪應力分布圖。

圖11 輪齒接觸對

圖12 靜力學分析

通過靜力學分析得到輪齒齒面應力分布圖，接觸區域從齒根小端向齒頂大端分布，在齒中應力集中較為明顯，和在UG 中運動仿真做得到接觸區域以及動態變化一致，驗證了參數化建模程序所建模的三維模型用于理論分析的可行性、模型的精度以及程序的正確性。

4 結論

筆者對弧齒錐齒輪參數化設計和理論分析進行了深入研究，從弧齒錐齒輪幾何參數計算、精確建模、有限元模型建立、輪齒接觸靜力學分析等方面都融入了參數化的思想。對實際生產設計該種齒輪可以有效減少理論上設計分析時間，提高設計、生產效率。

為了驗證所編寫程序正確性和通過參數化所建立三維模型的精確性，提取運動仿真、靜力學分析所得到的接觸印痕進行比對，分析結果基本一致，驗證了所提出參數化建模、分析弧齒錐齒輪的嚙合性能的可行性，對今后弧齒錐齒輪的設計和優化計算有一定實際指導意義。