基于旋量理論的三指靈巧手工作空間研究

裴九芳，許德章，王 海

(安徽工程大學 機械與汽車工程學院，安徽 蕪湖 241000)

多指靈巧手又稱機器人靈巧手或多關節機械手，是一種并聯加串聯形式的多機器人系統，一般由手掌和3～5個手指組成，每個手指有3～5個關節，每個手指都可以看作是一個具有多自由度的串聯機器人。其主要應用如代替人手完成復雜的、靈巧的或危險的任務，在極限環境或有害環境下替代人類執行特定任務，在太空航天器的艙外、核電站、化工廠等危險、惡劣的工作環境中從事探測、取樣、裝配、修理作業，以及戰場探雷和排雷等危險工作。

為了實現靈巧手的抓取規劃和精細操作功能，首先需要對靈巧手進行正運動學分析。正運動學是已知各個關節轉角，計算手指末端對應的位姿。目前,多數學者對機器人運動學普遍采用D-H(denavit-hartenber)參數法[1-2]，其建模時需要在每個關節都建立局部坐標系，每個坐標系都需要確定4個參數(θidiαiai)， 然而其缺點在于效率低、幾何意義不明確；當機器人構型改變時，還需要重新建立新的坐標系[3]。與D-H方法相比，基于旋量理論的運動旋量指數積形式只需建立基坐標系和末端的工具坐標系，具有明顯的幾何意義和簡潔性，簡化了對機器人構型的分析，為后續雅可比矩陣分析、動力學研究等打下良好的基礎[4-9]。

工作空間是衡量機器人靈巧手抓取范圍的重要指標。機器人靈巧手的工作空間是指手指指尖所能達到的所有三維空間點的集合，即正運動學解的集合?，F有學者對其他手指的單指進行了空間求解[10]。然而，靈巧手在抓取時，主要是利用兩指或三指對目標進行操作，手指的合成空間才能更清晰地反映抓取空間和抓取范圍，因此需要更進一步對多個手指的合成空間進行分析。另外，從合成空間還能夠獲知各個手指抓取的獨立空間、互補空間和重疊(靈巧)空間，以便對靈巧手各手指的幾何尺寸和布置進行優化。研究也對抓取空間點的概率分布進行了分析，以便對抓取目標的幾何尺寸進行篩選，對抓取效果進行預判，從而更穩定地抓取目標。

英國Shadow公司研制的Shadow多指靈巧手是多指手產品化的一個代表，可以模仿人手靈巧地進行抓持操作，而且手指上配備有觸覺傳感器、位置傳感器、溫度、電流傳感裝置等，可作為后續的靈巧手的運動學、動力學及控制性能的研究平臺，對揭示靈巧手的一些共性問題有積極的意義。

研究以Shadow三指靈巧手(拇指、食指、無名指)為研究對象，利用旋量理論對其各手指進行正運動學分析，然后對各手指的工作空間和合成工作空間進行研究，最后對抓取空間點在各方向的概率分布進行分析，為機器人靈巧手的后續抓取規劃和操作打下理論基礎。

1 旋量理論基礎

1.1 旋轉理論對剛體運動的描述

如果一剛體以單位速度繞ω∈R3軸作勻速轉動，轉動角度為θ，則剛體的運動變換可用矩陣指數形式表示：

(1)

(2)

1.2 剛體運動的指數坐標和運動旋量

當一剛體既繞軸線ω∈R3轉動，又沿平行于ω軸方向直線移動為v，則剛體的變換矩陣指數形式表示為：

(3)

圖1 剛體的旋量運動

1.3 機器人運動學的旋量表示

(4)

則，n自由度任意開鏈機器人的運動學的正解映射，可將各關節的運動加以組合，即得運動學正解映射gst:se(3)→SE(3)如下：

(5)

式中，gst(0)為機器人末端相對于基坐標系的初始位姿；gst(θ)表示機器人末端的最終位姿；se(3)和SE(3)分別表示一個李代數和李群，代表旋量的集合和剛體變換的集合。

2 Shadow機器人靈巧手正運動學方程

Shadow三指靈巧手包括拇指、食指和無名指，拇指共5個自由度，分別為下指節的側擺和屈曲，中指節的側擺和屈曲，以及上指節的屈曲運動，側擺軸與屈曲軸垂直，且與手掌相連；食指和無名指結構相同，分別為下指節的側擺和屈曲，以及中指節和上指節的屈曲運動，其中，中指節和上指節相互耦合，耦合系數為1。三指Shadow手的結構簡圖如圖2所示。

圖2 三指Shadow手的結構簡圖

2.1 食指(無名指)旋量正運動學分析

食指運動模型簡圖如圖3所示。坐標系及運動旋量，正運動學分析如下：

(1)構造轉動關節的運動旋量ω和末端相對于基坐標系的初始位姿gst(0)。

ω1=(0 0 1)T；ω2=(0 1 0)T；ω3=(0 1 0)T；ω4=(0 1 0)T。

(2)取軸上的點q。

q1=(0 0 0)T；q2=(a10 0)T；q3=(a1+a20 0)T；q4=(a1+a2+a30 0)T。

(5)求正運動學結果。

(6)

式中，si=sinθi；ci=cosθi；sij=sin(θi+θj)；sijk=sin(θi+θj+θk)(研究中后續沿用此表達)。

2.2 拇指旋量正運動學分析

拇指的自由度比食指和無名指多一個，為5個自由度，其運動模型簡圖、坐標系及運動旋量表示如圖4所示。其正運動學分析如下：構造轉動關節的運動旋量ω和末端相對于基坐標系的初始位姿gst(0)：

ω1=(0 0 1)T；ω2=(0 1 0)T；ω3=(0 0 1)T；ω4=(0 1 0)T；ω5=(0 1 0)T；

q1=(0 0 0)T；q2=(a10 0)T；q3=(a1+a20 0)T；q4=(a1+a2+a30 0)T；

q5=(a1+a2+a3+a40 0)T；

ξ1=[0 0 0 0 0 1]T;ξ2=[0 0a10 1 0]T;

ξ3=[0 -a20 0 0 1]T;ξ4=[0 0a20 1 0]T;

ξ5=[0 0a2+a40 1 0]T;

(7)

式中，r11=s5(s4(s1s3-c1c2c3)-c1c4s2)-c5(c4(s1s3-c1c2c3)+c1s2s4);

r12=c5(s4(s1s3-c1c2c3)-c1c4s2)+s5(c4(s1s3-c1c2c3)+c1s2s4);

r13=-c3s1-c1c2s3;

r21=c5(c4(c1s3+s1c2c3)-s1s2s4)-s5(s4(c1s3+s1c2c3)-c4s1s2);

r22=-c5(s4(c1s3+s1c2c3)+s1s2c4)-s5(c4(c1s3+s1c2c3)-s1s2s4);

r23=c1c3-c2s1s3;

r31=-c5(c2s4+c3c4s2)-s5(c2c4-c3s2s4);

r32=s5(c2s4+c3c4s2)-c5(c2c4-c3s2s4);

r33=s2s3;

px=a2c1c2-a4c1s2s4-a4c1s1s3+a4c1c2c3c4-a5c1c4s2s5-a5c1c5s2s4-a5c4c5s1s3+a5s1s3s4s5-a5c1c2c3s4s5+a5c1c2c3c3c5;

py=a2s1c2+a4c1c4s3-a4s1s2s4+a4s1c2c3c4+a5c1c4c5s3-a5c4s1s2s3-a5c5s1s2s4-a5c1s3s4s5+a5s1c2c3c4c5-a5s1c2c3s4s5;

pz=a5c3s2s4s5-a4c2s4-a4c3c4s2-a5c2c4s5-a5c2c5s4-a5c3c4c5s2-a2s2。

圖3 食指FF(無名指RF)的結構模型 圖4 拇指TH的結構模型

3 Shadow靈巧手工作空間分析

靈巧手的工作空間是衡量機構性能的重要指標，在機構設計控制和操作等方面具有重要意義。參照人手的解剖結構，人手結構和運動范圍因人而異，大致有一個通用的范圍[11]，Shadow靈巧手手指結構參數和關節范圍如表1所示。

根據正運動學方程的分析，運用MATLAB軟件進行數值計算，根據表1所示各個關節范圍和各個連桿幾何尺寸，計算手指指端工作空間邊界點，從而構成的空間范圍如圖5、圖6、圖7所示。

表1 Shadow手指結構參數和關節范圍

3.1 單個手指的工作空間

由圖5、圖6可以看出，食指和無名指的工作空間結構相同，僅空間投影在Y方向的數值范圍不同，食指和無名指的工作空間X方向的空間范圍處于[-32.83,32.83]之間；食指和無名指的工作空間Z方向的空間范圍處于[44,190.98]之間，其Z方向是由大變小再變大的過程；食指Y方向的空間范圍在[-34,-130]之間；無名指Y方向的空間范圍在[-86,10]之間。

圖5 食指工作空間 圖6 無名指工作空間

由圖7可以看出，拇指的工作空間最大，與實際相符。拇指在抓取中處于主導地位，所達范圍也最大。拇指的工作空間X方向的空間范圍為[-85.9,85.9]之間，Y方向的空間范圍為[-131.5,-34.96]之間，Z方向的空間范圍為[-44.4,115.14]之間。

圖7 拇指工作空間

3.2 3個手指的合成空間

靈巧手在抓取目標時，是依靠兩指或三指共同協作對目標進行操作，所以研究3個手指的合成空間能更清晰地反映抓取空間和抓取范圍。從靈巧手的合成工作空間可以獲知各個手指的獨立工作空間，各手指工作空間的重疊區域形成的協調工作空間是表征靈巧手運動靈活性的主要指標。研究合成空間便于對抓取目標物進行篩選，也能對靈巧手的幾何尺寸和布置進行優化設計。

圖8 靈巧手的坐標系布局

α=45°。對坐標系統一后，所得合成空間如圖9、圖10所示。

圖9 3個手指的合成空間

圖10 合成空間的平面投影

對合成空間取多截面分析發現，工作空間沒有空洞，工作形狀緊湊，與實際手指的工作空間相符。其中，XOY平面投影中，大拇指和食指的重疊靈巧空間較大，這也印證了利用大拇指和食指抓持和操作物體最頻繁，運動也最靈巧；XOZ平面投影中，食指和無名指的投影完全相同，形成了重疊，大拇指和兩指之間的重疊區域不大，重疊區域主要位于大拇指的最末端關節和食指或無名指的第二關節之間；YOZ平面投影中，大拇指和兩個手指之間的重疊靈巧空間較大，并且3個手指的空間具有較好的互補性，從重疊空間的分布看，大拇指和食指之間，大拇指和無名指之間都有一定的重疊，分布的面積也相近，說明大拇指的位置很恰當，能夠和其他各指進行配合完成精度操作和強力抓取操作。

仿真的空間結果與實際手指操作空間相符，從而也驗證了利用旋量理論進行運動學分析，進而進行工作空間分析的正確性。

3.3 空間分布概率

從工作空間可以看出，有些空間點密集，而有些較為稀疏，空間點密集說明靈巧手操作更頻繁更靈活地到達這些位置，而稀疏的空間點說明靈巧手操作較少到達此位置，這也間接說明，如果抓取物體位于空間點密集的區域，將更靈巧、更穩定地被抓持和操作。為了進一步從操作頻繁角度來分析抓取空間，進而對抓取目標的幾何尺寸進行篩選，對抓取效果進行預判，對抓取空間點的概率分布進行分析。

對合成空間的點集進行分析，分解點集的數量與空間位置之間的關系，得到3個手指投影在X、Y、Z3個方向的點集概率分布，如圖11所示。從圖11a看出，大拇指的工作空間點集在X方向的概率分布位于±85.9之間，分布范圍最廣，點集較為分散；食指和無名指的工作空間點集在X方向的概率分布完全重合，位于±32.8之間，分布范圍小，點集較為集中。從圖11b看出，3個手指的工作空間點集在Y方向的概率分布相似，分布范圍較寬，其中大拇指在Y方向的概率分布位于區間[-131.5,-35]，而食指和無名指在Y方向的概率分布分別位于區間[-130,-34]和[-86,10]。從圖11c看出，拇指的工作空間點集在Z方向的概率分布位于區間[-44.4,115.1],而食指和無名指在Z方向的概率分布完全重合，位于區間[44,191]內，3個手指的分布范圍都較廣。從圖11可以推測出，抓取目標的尺寸最大不能大于各方向的概率分布范圍，而最佳尺寸是位于較高概率分布的區域，可以根據實際情況來選擇一定的概率分布區域進行穩定抓持操作。

圖11 手指空間點集方向概率分布

4 結論

應用旋量理論推導了Shadow三指靈巧手(拇指、食指、無名指)各指的正運動學方程，幾何意義明確；在此基礎上，對各手指的工作空間進行單獨分析，給出了各手指的工作空間范圍，然后對各手指進行坐標系統一，給出了3個手指的合成工作空間，從合成空間獲知了各個手指抓取的獨立空間、互補空間和重疊(靈巧)空間，便于后續對靈巧手各手指的幾何尺寸和布置進行優化；最后對抓取空間點集在各方向的概率分布進行分析，以便對抓取目標的幾何尺寸進行篩選，對抓取效果進行預判，更穩定地抓取目標物體。研究將為機器人靈巧手的后續抓取規劃和操作打下理論基礎。