有關圓的綜合題型探究

薛永軍

(內蒙古巴彥淖爾市第二中學 015001)

一、圓與三角函數的綜合題型

在初中數學中，圓與三角函數構成的綜合題型比較常見.鑒于三角函數的相關數學類型題主要立足于直角三角形進行考查，所以針對該種類型的圓綜合題的求解中要注意抓住圓的一些特殊性質，巧妙地在其中構建出直角三角形，之后靈活地運用三角函數部分的數學知識來進行快速求解.在構建直角三角形期間一般采取如下幾種方式：其一，通過利用圓的切線定義，構建直角三角形；其二，利用圓的直徑來構建直角三角形.

例1如圖1，已知圓O的直徑AB與弦CD交于F點，現在通過圓O之外的一點E作出直線AE，已知∠D=∠CAE，試求解如下兩道問題：(1)試證明：AE為圓O的切線；(2)假定∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=3/4，CF=10/3，試求出BF的長度.

解析問題(1)可以直接通過按照切線定義的方式來進行直接判斷.問題(2)在求解中需要綜合題目給出的一系列已知條件，進行逐步論證.基于邊BC和邊CF的長度以及角度的相關值，可以推導出邊BF的長度，之后可以嘗試進行相似三角形構建，利用相似邊的對應比例關系來求解相應問題.比如，針對△AFC∽△DFB，可以得到如下邊長比例關系：BF=(FC×BD)/AC，之后只需要分別結合題干條件求解出邊長AC和BD的對應值即可.由于AB為圓O的直徑，其分別對應∠BCA和∠BDA，二者均為直角，這時候直接結合對應的余弦值以及勾股定理即可求解出位置邊長的長度.

二、圓與陰影面積的綜合題型

圓與陰影面積構成的綜合題型也是初中數學學習的一種常見題型，除了會考查初中生對不規則圖形面積求解方法的掌握情況外，還會考查他們是否可以靈活地運用三角形和圓形等性質去求解數學問題.具體的求解中可以靈活地運用拆補法，結合扇形、圓形和三角形等基本圖形的一些面積求解方法與公式去求解相應的數學問題.基此，針對該類問題，要注意靈活運用割補法，將復雜、不規則陰影部分面積通過割補的方式轉化成常見規則圖形，之后加以針對性求解.

例2在圖3中，圓O與直線PA和PB分別相切于A和B兩點，圓O上點C滿足∠ACB=60°，試求如下兩道數學題：(1)∠P的度數；(2)如果圓O的半徑r=4cm，試求其中陰影部分面積.

解析針對問題(1)，在將AO和BO進行連接之后，可以將∠P看作四邊形AOBP的內角，結合已知條件給出的邊角關系即可快速求解出∠P.針對問題(2)，由于陰影的形狀不規則，所以可以采取割補法，將OP進行連接，以此證明△AOP≌△BOP，這樣可知直線OP將陰影均分成了面積相等的兩部分，即：S陰影=2(S△AOP-S扇形AOQ).

三、圓與幾何最值的綜合題型

幾何最值也是當前中考數學學科考試的熱點內容之一，而與圓相結合的綜合題型具有一些特點，具體主要表現在如下三種類型：其一，圓上面的動點和定直線之間的距離；其二，圓上面的動點和定點之間的距離；其三，圓上面的動點和動直線之間的距離.在求解該種類型的綜合題型期間，可以采取恰當的最值模型，靈活地采用數形結合思想等加以求解.

例3在圖5中，A(6,0)和B(0,6)是兩個定點，而圓O上面存在動點C，已知其半徑r=3，試求動點C在圓O上面哪個位置的時候所構成的△ABC具有最大的面積，最大值是多少？

解析過C點作邊AB上的高，其中D點為垂足，之后借助面積求解公式即可得到△ABC的面積，這時候只需要使高CD達到最大值即可實現求解目標.通過該種求解方式，可以將面積最大值求解轉換為圓O上動點與定直線之間距離的最值問題.考慮到圓的特殊性，為了確保高CD達到最大值，那么就必須要使其通過圓心.而當點C處于最遠端之后可以求得最大值.

總之，有關圓的綜合題類型眾多，求解方法各不相同，對學生的求解能力具有較高要求.在平時教學中，教師除了將常見綜合題目求解方法介紹給學生外，還要注意夯實學生的理論知識基礎，豐富學生的解題思路與方法，加強解題訓練，確保他們快速找到解題的突破口，不斷提升他們的解題能力.