基于裂縫分布的開裂鋼筋混凝土梁抗彎剛度計算*

朱 胤 王雨陽 付春雨

(河海大學土木與交通學院 南京 210098)

0 引 言

由于混凝土抗拉強度低，極易產生裂縫，裂縫會通過混凝土內部應力重分布，削弱混凝土與鋼筋之間的黏結等因素來降低鋼筋混凝土梁抗彎剛度，進而影響了混凝土梁的耐久性.

眾多學者基于黏結滑移理論，分析鋼筋與混凝土的應力-應變，得出開裂梁抗彎剛度計算方法.Castel等[1-2]假設了鋼筋與混凝土的應變在黏結滑移傳遞長度內的分布函數及橫截面處的應力分布模式，給出了宏觀單元內平均慣性矩的表達式.Teng等[3]在Castel的基礎之上，計入微裂縫對鋼筋與混凝土黏結的損傷，提出更加精細化的模型.Kwak等[4]提出鋼筋混凝土拉伸試件中鋼筋與混凝土的應變多項式分布函數并推廣至受彎構件中，給出受彎構件有效受拉截面面積的計算方法及截面內力的分布狀況，以計算開裂鋼筋混凝土受彎構件的剛度.這些模型可用于估算設計階段的梁剛度，但不考慮實際鋼筋布置和裂縫分布.因此，這種模型不適用于使用階段的裂縫分布不規則的既有混凝土梁剛度計算.

文中將裂縫的深度和位置作為開裂梁抗彎剛度計算的考慮因素，根據裂縫對截面應力分布的影響程度選取關鍵截面并提出不同的截面正應變非線性分布模型，通過內力平衡方程求解分布模型中的未知量，進而得出截面的內力分布.在此基礎上對各個截面慣性矩進行精確計算，用來評估已有開裂梁的抗彎剛度.

1 開裂鋼筋混凝土梁剛度計算方法

以開裂鋼筋混凝土簡支梁為研究對象，得出裂縫影響區域內的剛度計算方法.結構的布置簡圖見圖1，簡支梁跨徑為L，梁高為h，梁寬為b，裂縫深度為dc，裂縫至支座A的軸向距離為lc.梁體內配置有直徑為φ的變形鋼筋，鋼筋的數量為ns，鋼筋形心至梁底部的距離為as，集中力P0距離支座的距離為lp.為了得到梁的精確的剛度，首先根據裂縫對梁的貢獻大小不同將裂縫附近的梁劃分不同的區域，然后針對不同的區域進行鋼筋-混凝土的黏結損傷和非線性混凝土應變分布的模擬，根據裂縫對梁的貢獻將裂縫附近梁劃分成不同的區域，并在此基礎上計算截面慣性矩和梁的剛度.

圖1 結構整體布置圖

在荷載P0的作用之下，根據內外力平衡，在兩個荷載之間所有的截面的內力主矩都等于M0=P0×lp.圣維南原理揭示了若把物體的一部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力，近處的應變分量將有顯著的改變，但截面橫斷面尺寸之外所受的影響可以不計.因此，可以認為裂縫的影響區域lef等于截面的高度h，在裂縫左右側1倍梁高范圍以內(即lc-lef

1.1 黏結滑移模型

1.1.1黏結區域

這個區域距離裂縫最遠，因此其黏結性能最好，認為鋼筋應變εt與周圍混凝土應變εcl相等.

εt=εcl

(1)

然后裂縫會削弱梁底部的混凝土應變，由于此區域距離裂縫最遠，所以該區域內梁底部混凝土應變變化緩慢，假設在這個區域內，梁底部的混凝土應變從εcb0均勻變化到0.95εcb0.其中:εcb0為距離裂縫h處的混凝土底端應變，可用經典梁理論求得.

(2)

式中：I0為完好梁的慣性矩；Ec為混凝土彈性模量；yn為y方向中性軸距離梁底部的距離.

黏結區域的長度lb與鋼筋對混凝土開裂的限制作用有關，通過鋼筋形心到裂縫上方混凝土的形心hp來計算.約束作用越大，裂縫帶來的削弱效應越弱，混凝土應變變化越慢，變化所需的子區域越長.所以lb隨著hp的增大而增大，假設lb與hp的函數關系式為

lb=lef(0.1+0.7ρ2)

(3)

式中：ρ為hp與h的比值，當ρ趨向于0的時候，鋼筋對混凝土無約束作用，此時，鋼筋混凝土梁可視為均質素混凝土梁，Chun等[5]指出：對于開裂均質素混凝土梁而言，底部應變從εcb0變化到0.95εcb0所對應的區間長度為0.1lef.當ρ趨向于1的時候，鋼筋幾乎位于梁體的外側，此時鋼筋的約束作用最強，黏結區域的長度也就最大，所以當ρ的取值范圍為0到1，lb隨ρ增大而增大.

1.1.2滑移區域

該區域相較于黏結區域更加接近裂縫，因此裂縫對該區域的影響要大于黏結區域，梁底部的混凝土應變進一步減小，相對應的鋼筋的應變卻增大，鋼筋和周圍混凝土開始出現滑移，因此鋼筋應變不等于混凝土的應變εcl.Manfredi等[6]指出：在裂縫附近存在一個特殊截面，受壓混凝土的應變與受拉鋼筋的應變近似滿足平截面假設，此截面鋼筋應變為

(4)

式中：dt為鋼筋形心到混凝土底板的距離；εct為混凝土頂板應變，假設這一特殊截面位于滑移區域，且與裂縫距離為0.2lef.

對于特殊截面附近的截面而言，可以根據鋼筋與鋼筋附近有效面積內的混凝土的內力平衡來計算，假設有效區深度為(dt+7.5db).其中:db為鋼筋直徑.有效區域內鋼筋與混凝土的拉力之和保持不變，為

EtεtsAt+EcεcbsAce=EtεtjAt+EcεcbjAce

(5)

式中：εcbs為特殊截面上有效區混凝土的應變；εtj和εcbj為待求截面上鋼筋與混凝土的應變；Ace為有效區面積；Et為鋼筋彈性模量，如果已知混凝土應變εcbs和εcbj，即可根據式(5)求解出εtj.

由于存在裂縫，且滑移區端部接近裂縫，故底部混凝土應變逐漸減小，并在滑移區域的末端應變趨近于0，可以認為：該分區內，從遠離裂縫到接近裂縫時底板混凝土應變從0.95εcb0線性變化到0.

1.1.3剝離區域

該分區是最靠近裂縫的分區，鋼筋與混凝土之間幾乎沒有連接，梁底部附近的混凝土的應變為0，但是鋼筋存在很大的拉應力，并與混凝土應變無關.

由于混凝土與鋼筋之間不存在黏結，故可以認為在此分區內鋼筋的應變保持一致，鋼筋周圍混凝土應變為0，故可根據式(6)計算鋼筋應變.

(6)

由于鋼筋與混凝土獨立變形的區域較短，假設剝離區域長度為0.1lef.則滑動區域的長度為影響區長度lef減去剝離區域與黏結區域的長度之和.

1.2 橫截面正應變分布模型

在裂縫影響范圍內混凝土應變沿梁高方向呈現非線性變化，明顯不滿足平截面假定.而且，截面離裂縫越近，非線性效應則越明顯.

在黏結階段，由于距離裂縫最遠，受到裂縫的影響相對微弱，因而采用最簡單的非線性應變分布模型——雙線性應變分布模型，見圖2a)，在高度等于裂紋深度dc的位置出現拐點.因此，混凝土沿高度的應變分布為

(7)

式中：εcb為混凝土底板應變.

在滑移區域，截面更靠近裂縫，底部混凝土應變沿梁軸線減小.但裂紋尖端以上的應變增加，包括拐點處的應變.因此，拐點處的應變將大于底部的應變，非線性變得明顯.假定拐點以下的應變服從非線性分布，見圖2b).混凝土應變分布為

(8)

式中：參數α表示其非線性，這里假設為3.

在剝離區域，當尖端附近的應變集中時，尖端上方的應變分布也變得非線性.假定中性軸以上部分的混凝土應變與高度呈線性關系，而中性軸與裂紋尖端之間部分的應變與中性軸垂直距離的平方根成正比，見圖2c).

圖2 橫截面正應變分布模型示意圖

裂紋尖端以下的應變分布也假定為一條三次曲線，但該分布的高度隨截面到裂縫的距離變化而變化.在滑移區域和剝離區域的結合部分，此分布的高度為(dc-dt).因為裂紋表面沒有力，所以在裂縫截面處，此分布高度等于0.假設高度沿梁軸線性變化.因此，剝離區域的混凝土應變分布可以寫成

(9)

式中：εcp為應變分布拐點混凝土的應變值；dz為位于裂紋尖端以下應變等于0的的高度.

1.3 應變分布模型未知量的求解

雖然建立了不同的模型來描述鋼筋混凝土的黏結損傷和非線性混凝土應變分布，但這些模型中仍存在一些未知數，如混凝土頂部應變εct和中性軸位置yn.為了解決這些未知問題，對受彎梁采用了以下截面內力平衡.

(10)

(11)

式中：Ac和At為混凝土和鋼筋的面積

首先，在黏結區域中，底部的混凝土應變是根據1.1提到的鋼筋混凝土黏結滑移模型獲得的，鋼應變εt可以根據式(1)和式(5)用混凝土應變表示.

(12)

但是在式(11)中仍然有兩個未知量，頂板應變εct和中性軸高度yn，將已知量代入力和彎矩平衡方程可以得出：

(13)

EtεtAt(dt-yn)=M0

(14)

式中：Acu和Acb為拐點上、下的面積.

在滑移區域，特殊截面的鋼筋應變可以通過混凝土的應變來表示，首先根據力和彎矩平衡方程求解該截面內的未知數，對于其他截面，可在特殊截面確定后可通過式(5)來估算出其他截面的鋼筋應變，從而用同樣的方法求解未知數.

在剝離區域，鋼筋應變保持一致，且可通過剝離區域與滑移區域交界面處的鋼筋應變得知，而且已有的文獻表明：靠近裂縫時，截面的中性軸高度幾乎處于相同的高度，故認為從特殊截面到開裂截面的中性軸位置保持不變，但是剝離區域多出一個未知量εcp.通過聯立方程組求解出未知量εcp和εct.

1.4 相鄰裂縫的應變分布

當相鄰裂縫間距大于2lef，可以認為兩個裂縫影響區域不互相影響，用上述方法挨個求解單個裂縫影響范圍內的應變分布情況，即可知道整個梁體的鋼筋混凝土應變分布情況.

當相鄰裂縫間距小于2lef，兩條裂縫同時影響截面的應變分布.為了考慮這種影響效應，首先假設截面僅受距離截面最近的裂縫的影響，建立了黏結損傷和應變分布模型；然后根據距離截面稍遠的裂縫對截面的影響，對模型中的參數進行修正，最后通過內力平衡求解模型中的未知數.

由于裂縫的存在降低了底板應變，兩條裂縫影響下的應變比僅一條裂縫影響下的應變小，可以認為εcbm比假設僅受最近的裂縫的影響求解出來的地板應變εcb1小.

εcbm=βεcb1

(15)

(16)

式中：εcb2為假設截面只受距離截面第二近的裂縫的影響求解出來的底板應變；β為修正參數，取值范圍是(0,1].

由于兩個裂縫同時作用于模型，模型的非線性將增大，因此通過修改表示非線性的模型中的參數α對混凝土應變分布模型進行修正，將其改寫為

α=int(3/β)

(17)

式中：int(x)為對x進行四舍五入的取整運算.

對黏結損傷模型和應變分布模型進行修正以后.模型中的未知數仍然通過內力平衡來求解.求解后，可以得到截面的頂部應變和中性軸.

1.5 等效慣性矩求解

上述三種應變分布模型均具備同一特點,即中性軸至梁體頂部應力呈線性分布，三個關鍵截面處的曲率κ為

(18)

式中：εct為梁頂部混凝土的應變.各關鍵截面處彎矩均為M0，由經典梁理論，截面等效慣性矩計算表達式為

(19)

根據上述三種應變分布模型未知量的求解，可以知道整個簡支梁任意截面的梁頂部混凝土的應變εct與梁中性軸高度yn，故而可以計算出簡支梁所有截面的等效慣性矩.

1.6 梁單元剛度矩陣的計算

使用梁有限單元法求解此開裂鋼筋混凝土梁在靜力荷載下的響應.將跨徑為L的簡支梁等分為ndiv個單元，共有(ndiv+1)個節點，每個節點具有兩個自由度(豎向位移與轉角).第i個單元的端節點編號為i與(i+1)，其單元剛度矩陣Kme為

(20)

式中：E為單元的彈性模量，近似為Ec；ξ為單元局部坐標系內的局部坐標，等于(x-xi)/(xi+1-xi).其中:xi、xi+1為單元端點i與(i+1)的整體x坐標；If(ξ)為單元長度范圍內以局部坐標表述的等效慣性矩表達式，可以通過Ia(x)得到；N(ξ)為梁單元的Hermite形函數.

將單元剛度Kme組合成總體剛度Kb，由節點內外力的平衡，代入簡支梁邊界條件，求解線性方程組，即可得出任意節點處的撓度和轉角.

2 算 例

2.1 三點加載簡支梁

該組實驗由Fran?ois 等[7]完成，該簡支梁長度為3 m，計算跨徑L=2.80 m，梁高h=0.28 m,梁寬b=0.15 m，結構配筋圖及裂縫分布圖見圖3，裂縫信息見表1.鋼筋的屈服強度為500 MPa，彈性模量Es=200 GPa；混凝土的抗壓強度為63 MPa，抗拉強度為6.8 MPa，彈性模量Ec=35.0 GPa.

圖3 三點加載矩形簡支梁結構布置及裂縫分布圖(單位：mm)

表1 三點加載矩形簡支梁裂縫信息表 m

采用第1節提出的方法能夠求解整條梁裂縫影響范圍內所有截面的等效慣性矩，未處于裂縫影響范圍內的截面的慣性矩按完好梁慣性矩處理.全梁范圍內等效慣性矩分布圖見圖4.

圖4 三點加載矩形簡支梁等效慣性矩分布圖

在簡支梁跨中加載集中力，得出跨中撓度同跨中彎矩之間的關系見圖5.由圖5可知，本文提出的方法的計算結果無論是相對于歐洲規范計算結果還是相對于文獻[17]所提出的計算結果，都與實驗數據更加接近，驗證了提出的剛度計算方法的適用性.且本方法所需考慮的參數較少，僅需通過裂縫的位置和深度信息，即可得知全梁范圍內等效慣性矩分布，易于編程計算.

圖5 三點加載矩形簡支梁跨中彎矩-位移關系圖

2.2 四點加載矩形簡支梁

Teng[8]以試驗梁進行四點加載實驗，得出荷載大小和跨中撓度的關系.梁全長為3.5 m，計算跨徑為L=3.3 m，矩形截面高h=0.4 m，厚為b=0.3 m.鋼筋的保護層c=0.035 m.測得混凝土的28 d平均抗壓強度為46 MPa.鋼筋直徑為16 mm.鋼筋的屈服強度為500 MPa.彈性模量Es=200 GPa；混凝土的抗壓強度為63 MPa，抗拉強度為6.8 MPa，彈性模量Ec=33.8 GPa.鋼筋布置圖及荷載示意圖見圖6，選取其中的四片梁進行分析，他們的編號為B1，B2，B5，B6.裂縫分布圖見圖7.

圖6 四點加載矩形梁鋼筋布置及荷載示意圖

圖7 四點加載簡支梁梁裂縫分布圖

由于文獻[8]中的裂縫是彎曲的，而且南北面裂縫分布不一致，不利于計算，故需要采用以下方法將彎曲的裂縫等效成在同一截面的裂縫：

在梁的正視圖上用一系列間隔10 mm的水平線去劃分裂縫，裂縫與水平線相交于若干個點，接著將裂縫與水平線相交的點(若裂縫尖端不與水平線相交，則在裂縫尖端處補充一個點)的橫坐標平均得到所需要的裂縫的位置，裂縫深度取裂縫尖端的縱坐標.得到各梁的裂縫信息表，限于篇幅，略.

以B1梁為例，分別求解出梁體南北面在不同裂縫深度及位置下的等效慣性矩見圖8.由于此梁南北兩面的裂縫信息不一致，故根據上文介紹的方法得到南北兩面慣性矩不一致，此時做簡化處理認為：梁的整體等效慣性矩為南北兩面慣性矩的平均值，將南北兩面的慣性矩求平均值，得到最終整個梁短期荷載下沿全長的慣性矩分布情況見圖9a)實線，根據同樣的方法可以求出B1梁長期荷載作用下的等效慣性矩見圖9a)虛線以及其他梁全梁在短期和長期荷載作用下的等效慣性矩見圖9.

圖8 B1梁短期荷載作用下南面等效慣性矩分布圖

圖9 各梁全梁等效慣性矩分布圖

在距離兩端支座1.1 m處各加一個大小相等的荷載，得到各梁體跨中撓度和荷載的關系見圖10，計算得到的直線與實驗數據點的均方根見表2，由圖10和表2可知：

表2 四點加載矩形簡支梁均方差匯總表

圖10 四點加載矩形梁跨中彎矩—位移關系圖

1) 對比B1梁短期荷載與長期荷載下的實驗數據發現，由于裂縫在長期荷載作用下裂縫得到了擴展，使得裂縫深度發生了變化，削弱了梁的抗彎剛度，導致B1梁長期荷載作用下抗彎剛度小于B1梁短期荷載作用下的抗彎剛度.

2) 對比B1梁短期荷載與B5梁短期荷載的實驗數據發現，裂縫數量也同樣影響帶裂縫梁的抗彎剛度，當裂縫數量較多的時候會更多的削弱梁的抗彎剛度，

3) 本文所提出的方法能夠反映開裂梁剛度隨裂縫分布的變化，能更方便快捷的模擬出全梁的等效慣性矩，且通過本文提出的計算方法計算出來的荷載撓度曲線與實驗結果吻合良好，進一步驗證了第1節提出的計算方法的準確性.

3 結 束 語

提出一種綜合考慮裂縫分布的剛度計算方法.首先基于梁的數量信息和位置信息確定裂縫影響范圍，然后基于裂縫的深度信息提出了裂縫附近梁截面非線性應變分布模型，根據內力平衡方程，求解出各應變分布模型中的未知量，繼而得出全截面處的等效慣性矩，得到梁的總體剛度矩陣，求解得到梁在不同荷載下各節點的豎向位移與轉角.

提出的應變分布模型考慮了裂縫的分布信息，能夠反映出裂縫尖端的應力集中現象及裂縫截面混凝土應力放散等現象，從而精細地反映實際開裂構件中裂縫影響范圍之內的正應變分布規律.同時，根據裂縫信息得出的全梁范圍內的等效慣性矩分布能夠反映全梁范圍內各截面的等效慣性矩，而不限于宏觀尺度梁單元的平均等效慣性矩.

以三點加載矩形簡支梁和四點加載矩形簡支梁的響應計算為算例，計算結果同實驗數據吻合良好，驗證了提出的剛度計算方法具備較好的適用性.本文采用的方法只需知道裂縫的分布信息即可快速計算出全梁的剛度，能夠較為方便地求解實際工程中開裂鋼筋混凝土梁在外荷載作用下的響應.