剖析動態下空間角的大小關系

蔡 明

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

浙江高考連續三年在小題中均涉及動態下空間角(線線角、線面角、面面角)的大小關系，蘊含常用方法、特殊方法、特殊結論應用等，可以為不同層次的學生提供不同的方法進行三種角解答.

一、真題呈現

圖1

Aγ<α<βB.α<γ<β

C.α<β<γD.β<γ<α

2.【2018浙江卷8】已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點)，設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( ).

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

3.【2019浙江卷8】設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱VA上的點(不含端點)，記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則( ).

A.β<γ,α<γB.β<α,β<γ

C.β<α,γ<αD.α<β,γ<β

二、命題立意

作為立體幾何中的三種空間角問題立足于教材，命題背景公平，考生容易入手.近三年考題均以棱錐為載體，題型、位置也相對固定，解答的方法也基本相同，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念和性質，以及三種角的計算.通過對三種角的三角函數值求解，結合三角函數的性質進行大小比較，或運用圖形特征和變化，也可達到事半功倍的效果.

三、解法探究

2019年的空間角高考題以動態題為背景，考查數學運算、邏輯推理等，對學生數形結合及轉化與化歸的能力也有一定的要求.本文通過對2019年的高考題展開對解法的探究.

從題型上入手，考生可考慮使用極限法或從圖形上進行直觀判斷三個角的相關關系.

方法1在三棱錐逐漸壓扁的過程中不難發現直線PB與平面ABC所成的角β趨于零，可判斷出β<α,β<γ，選B.

作為選擇題的特點，不妨將三棱錐和動點特殊化，用定量的方法進行計算，并進行大小比較.

方法2不妨取各棱長都相等為2的正四面體V-ABC，且P為VA的中點，根據三種角的定義分別作出相應的角，并通過計算求得：

則sinβ

作為數學解題的嚴密性，往往需要一一求證，因此用一般的方法加以求解、判斷真偽.

圖2 圖3

方法3取AC的中點為G，O為底面△ABC的中心，連AO，則O為點V在底面ABC內的投影，且點P在底面ABC內投影點D在線段AO上運動，在底面ABC內，過D作DE⊥AC交AC于E，連PE，VG，易證PE∥VG.在面VAC內過P作PF∥AC交VG于F，過D作DH∥AC交BG于H，

則∠BPF=α，∠PBD=β，∠PED=γ.

綜上，選B.

在立體幾何的三個角中有兩個特殊的定理，即最小角定理與最大角定理.最小角定理——一條斜線與一個平面內的直線所成的角的最小角為該直線與此平面所成的角；最大角定理——一個半平面內任意一條直線與另一個半平面所成角的最大角為該二面角的平面角(或其補角).

方法4由最小角定理直接可得：β<α，設V-AB-C的平面角為θ，則θ=γ，根據最大角定理可知：β<θ，則β<γ，故選B.

四、解題思考

常規解法易出現運算錯誤或運算量較大，甚至也有不能正確作圖得出各種角；未能利用特殊圖形、特殊位置，尋求簡便解法.而運用特殊題型的意識，可運用已有的結論使小題快而準地解答.

近年來，立體幾何的動態題時有出現，往往需要學生更多的空間想象能力或一定的動手能力，快速有效地解決問題，因此平時教學中要不斷培養學生的觀察、發現、動手實踐等能力.

在解題中重視線線角、線面角、面面角之間的內在聯系，深層次的挖掘空間角的內涵，通過對空間位置關系的轉化來培養學生的直觀想象、數學運算等素養.在思維上也要下足功夫，要提升分析問題的能力，從而能更快更有效地解決問題.

五、教學反思

總體來看相對比較穩定，以基礎知識、基本方法為命題出發點，教學中讓學生更多地參與解題的探究過程.教學中的幾點反思：

1.重視基礎、加強運算

從學生反饋來看，作角容易，計算困難.由于學生平時缺乏對運算的訓練，削弱了運算能力，在考試中運算丟三落四，出錯率居高不下.在平時教學中應盡量要求學生在平時作業、練習時務必筆算，不要借助計算器等工具，更不要養成眼高手低的習慣，導致在真正考試時手忙腳亂，甚至出現一些低級的運算錯誤.

2.通性通法指導

加強重點問題的通性通法指導、保證解題的規范與嚴密.近幾年浙江高考總體平穩，應在平時強化問題的常規解法，形成一定的解題模式.學生解題格式不夠規范與不到位的失分也頗多，在平時講解中對易出錯的相關環節應強調于學生，使學生減少或避免這些無謂的失分.

總之在教學中應立足課本，抓好基礎，重視數學思想方法的運用，強化應用意識的訓練，提高分析問題、解決問題的能力.