由2020年海南卷第21題引發研究與思考

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

一、題目呈現

(1)求C的方程；

(2)點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

二、解法探究

對于(2)，我們可以從不同的角度來思考這個問題，運用解析幾何的一些基礎知識，采用通解通法即可解答本題.

分析1 直線AM的方程易求，進而可計算|AM|的值.要使△AMN的面積最大，就是要使點N離直線AM最遠.數形結合可知，點N就是直線AM的平行線與橢圓C在第四象限的切點，如圖1.

所以△AMN的面積的最大值為18.

評析通過數形結合，能夠大致確定取得最值的點N的位置，這是定性分析.通過計算可以精準確定最值.二者結合充分展示了解析結合的基本理念：用代數研究幾何.這是學生必須理解掌握的內容.這種解法在2008年全國Ⅱ卷第21題已經考查過.

分析2 本題可以轉化為求函數最值問題.橢圓的參數方程可以提供基礎支持，利用三角函數可以完成最值的求解.

結合解法1，點N到直線AM的距離

所以△AMN的面積的最大值為18.

所以△AMN的面積的最大值為18.

評析這是一個容易想到的思路.求交點是解析幾何的基本要求，在教材中有專項設計.通過計算能夠進一步理解直線與曲線相切時，只有一個公共點.也可省去點N位置的選擇.

當發現N(2,-3)使得△AMN的面積取得最大值后，后續的三角形面積計算別有洞天.

分析4 數據背后往往就是位置關系，一些特殊的位置關系就會帶來簡約的計算方法，通徑含有的垂直關系對于三角形面積計算很重要.

評析充分發掘數據的幾何功能讓解題變得輕松愉悅，也能感悟到命題者的獨到匠心，利用一個特殊的情形對解析幾何進行了一般技能技巧的考查.

分析5 對于三角形面積的計算，在必修3《算法初步》一章中介紹了海倫公式，本問題可以用它解答.

評析海倫公式雖然只是在課本中作為一個算法案例提出，但是它的用法還是很廣的，平時教學留意一下，學生普遍能接受.已經多次在高考中考查該知識點.

分析6 在直角三角形中容易計算銳角的三角函數值.含正弦的三角形面積公式也是一個重要的計算方法.

三、背景溯源

注可類似于解法1解答此題.

注可類似于解法2解答此題.

(1)求M的方程；

(2)C、D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

題源4 (2008年全國Ⅱ卷理科21題)設橢圓的中心在原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y=kx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點.

(1)若ED=6DF，求k的值；

(2)求四邊形AEBF面積的最大值.

四、幾點思考

1.回歸教材，回歸基礎

高考題取材主要來源于教材，正如此題.然而在日常教學中我們發現，普遍存在輕教材，重教輔的情形，無限制地拔高，甚至研究出很多的高深技法，學生學得苦，老師教得累，勞而無功.

2.研究高考真題，把握命題方向

高考題是命題專家們經過周密思考，反復研磨打造出來的精品.從這些題中我們能發現命題的重點、難點、常考點，我們能學到常見的解題方法，重要的技能技巧.讓學生把這些將來深造需要的知識掌握扎實即可，切實為學生減負.

3.重質量，輕數量，勤研究

刷題現象在全國各地十分普遍，似乎靠數量取勝.事實上，只有潛心研究，真正弄懂的問題才能在高考時“復制”出來，只有深入研究了才能發現每類問題的最佳解題途徑.本例中，顯然利用參數方程的解法2最為簡潔，既提高了考試的準確率(運算小)，也為考試贏得了寶貴的時間.深入研究還可以讓零散的知識有機地串聯起來，相互照應，讓學生思路開闊，思維靈活，培養真正的創新人才.