2020年復旦大學強基計劃數學試題及其詳解

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

試題及其解答是筆者由華清園教育(http://gk.qhyedu.com/qhy/20200714/98185.html)等公開的內容整理而成的.

1.已知直線m:xcosα-y=0和直線n:3x+y-c=0，則( ).

A.m和n可能重合

B.m和n不可能垂直

C.直線m上存在點P，使得直線n繞點P旋轉后與直線m重合

D.以上都不對

2.Given two sets A:{1,2,3,4,5} and B:{3,4,5,6,7}，then the intersection set ofAandBis( ).

A.{1,2} B.{3,4,5}

C.{1,2,3,4,5,6,7} D.{6,7}

3.若實數x,y滿足x2+2xy-1=0，則x2+y2最小值為____.

5.Which number that number 5 is the cubic root of ?

A.3 B.5 C.25 D.125

7.已知拋物線x=3y2的焦點為F，若該拋物線在點A處的切線與直線AF的夾角為30°，則點A的橫坐標為____.

12.在△ABC中，已知AB=9,BC=6,CA=7,則BC邊上中線長為____.

14. 若關于x的實系數一元三次方程x3+ax2+4x+5=0有一個根是純虛數，則a=____.

A.0 B.1 C.-1 D.與a有關

圖1

18.如圖1所示，在凸四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC是∠DAC=∠DBC的____.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

19.如圖2所示，平面內兩條直線l1,l2交于點O，M為該平面內的任意一點.若點M到直線l1,l2的距離分別為p,q，則稱(p,q)是點M的“距離坐標”.p,q是已知的非負常數，給出下列三個結論：

圖2

(1)若p=q=0，則“距離坐標”為(0,0)的點有且僅有1個；

(2)若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標”為(p,q)的點有且僅有2個；

(3)若pq≠0，則“距離坐標”為(p,q)的點有且僅有4個.

其中正確結論的個數是____.

A.0 B.1 C.2 D.3

20.若函數f(x)=3x-3-x的反函數為y=f-1(x)，則g(x)=f-1(x-1)+1在[-3,5]上的最大值和最小值的和為____.

A.0 B.1 C.2 D.4

21.若k>4，則直線kx-2y-2k+8=0與2x+k2y-4k2-4=0與兩條坐標軸圍成的四邊形面積的取值范圍是____.

圖3

22.如圖3所示，已知A,B,C,D四點共圓，且AB=1,CD=2,AD=4,BC=5,則PA=____.

A.8 B.7 C.6 D.6或7

24.給定5個函數，其中3個是奇函數但不是偶函數，2個是偶函數但不是奇函數，則在這5個函數中任意取3個，其中既有奇函數又有偶函數的概率為____.

25.方程5ρcosθ=4ρ+3ρcos2θ所表示的曲線形狀是____.

26.在平面直角坐標系xOy中，把點(4,5)繞點(1,1)順時針旋轉60°，所得的點的坐標為____.

27.已知實數x,y滿足x2+y2=1，若|x+2y-a|+|a+6-x-2y|的值與x,y的取值無關，則a的取值范圍是____.

圖4

28.某公司安排甲、乙、丙等7人完成除夕到大年初六共7天的值班任務，每人值班一天.已知甲不值第一天，乙不值第二天，甲和丙在相鄰兩天值班，則不同的安排方式共有____種.

29.若函數f(x)的圖象如圖4所示，則函數f(f(x))的圖象大致為____.

29.解法1 B.設g(x)=f(f(x)).由f(x)的圖象關于y軸對稱不關于坐標原點對稱，可得f(x)是偶函數不是奇函數，所以可得g(x)也是偶函數不是奇函數，從而可排除選項A,D.

可得g(1)=f(f(1))=f(0)=-1<0，可排除選項C.

31.方程3x+4y+12z=2020的自然數解的組數為____.

32.已知m,n∈Z，且0≤n≤11.若22020+32021=12m+n，則n=____.

A.4 B.7 C.10 D.13

33.下列不等式恒成立的是 ( ).

參考答案