借助切線解決函數不等式恒成立問題

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學 114000)

對于函數y=ax2+bx+c(a>0)、y=ax(01)、y=sinx,x∈(0，π)等函數具有以下特征：對于曲線上任意一點處的切線總在該曲線的上方.此直觀結果雖然簡單明了，但用其解決函數不等式恒成立等問題時能起到直觀易懂、事倍功半的效果.下面以三道高考試題作為示例，說明如下.

示例1 (2017年理科全國二卷21題)已知函數f(x)=ax3-ax-xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e-2

分析問題(1)，注意到函數定義域為x>0，所以f(x)≥0等價于以ax2-a-lnx≥0，即ax2-a≥lnx.構造函數g1(x)=lnx,g2(x)=ax2-a.a≤0時，由函數g1(x)與g2(x)圖象知，此時不合題意.a>0時，注意到g1(x)=lnx任意一點的切線都在曲線上方，g2(x)=ax2-a任意一點的切線都在曲線下方；所以如果函數g1(x)=lnx、g2(x)=ax2-a的圖象存在共點公切線，則其公切線所確定的a即為所求.

問題(2)證明略.

反思解題關鍵在于由lnx≤ax2-a，構造兩個函數g1(x)=lnx，g2(x)=ax2-a，借助g1(x)=lnx，g2(x)=ax2-a存在過兩曲線公共點的公切線，并且兩個函數圖象分別在公切線的上、下方，這樣就得到取等號時a的值.

示例2 (2018年理科全國一卷21題)已知函數f(x)=aex-lnx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；

分析問題(1)略.

略解問題(1)答案：遞減區間(0,2)；遞增區間(2，+∞).

反思與示例1比較，示例2是求參數范圍的問題.該題解法與示例1的區別在于先求出參數的臨界值(即取等號的參數值)，再思考參數的考取值范圍.

示例3 (2013年理科全國二卷21題)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

分析問題(1)略.

對于問題(2)，f(x)>0即ex>ln(x+m).由于m≤2，由對數函數單調性得：ln(x+2)≥ln(x+m)，因此，只需證ex>ln(x+2)①即可.

構造函數g1(x)=ex、g2(x)=ln(x+2).注意到g2(x)=ln(x+2)切線在其曲線上方，g1(x)=ex切線在其曲線下方.由于本題的不等式是大于號，不可能存在共點公切線，所以不能簡單運用上述示例的方法解決.通過進一步的思考可得，如果存在互相平行的切線，也可得①式成立.

由(3)得-x1=ln(x2+2)，

y1-y2=ex1-ln(x2+2)=ex1+x1②.

反思與示例1、2比較而言，示例3中函數不等式的符號是“>”，所以不存在共點的公切線.因此借助平行切線的方法來解決.其它解題過程與示例2的求解思考相同.

事實上，還有很多用此方法可以解決的數學問題(如包含正、余弦函數的問題)，由于上述三種類型基本將其概括，其解題思考也基本雷同，就不過多贅述.

最后，作為這類問題求解的反思，提出以下注記：

一是文章中提出的函數圖象特征(圖象在其切線上方，或下方)涉及到凸函數的概念.也就是說，凸函數是借助函數圖象在其任意一點的切線上、下方來定義的(見參考文獻[1]).對于一個函數是否是凸函數的判斷方法是：f″(x)>0(<0)是下(上)凸函數.所以判斷一個函數是否是下(上)凸函數需要兩次求導，判斷正負即可.雖然高中沒有涉及這些知識，但對學過導數的高中生來講并不存在學習負擔.

二是運用曲線切線的方法解決證明不等式、含參不等式等恒成立問題，其解題思路非常簡潔直觀、解題思維量很小，特別是對于同時含有兩個超越代數式(如：ex、lnx、sinx、cosx等)的函數問題而言，解題即思考的簡潔性更加突出.

三是處理導函數問題時，有時需要將超越式轉化為代數式，利用此方法，為通過放縮來實現超越式向代數式的轉化，提供一種很好的思考.

五是運用曲線切線不僅能解決凸性相反的不等式恒成立問題，也能解決凸性相同的問題，解題的基本思考是一致的，在此請讀者自行思考，就不舉例說明了.

綜上所述，借助凸函數與切線關系解題不僅限于上述三個示例，也不僅限于上述問題，如解決零點問題，同樣是有效的.總之，這種解題思考有較大的開發前景，歡迎感興趣的同仁們去探索.