函數凹凸性在高考數學中的命題分析

紀定春

(四川師范大學數學科學學院 610068)

一、函數凹凸性及等價命題簡介

定義設f是定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數λ∈(0,1)總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f為I上的凸函數.

反之，如果總有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f為I上的凹函數.

注意：為了便于識記，以下不妨將凸函數、凹函數分別稱為下凸函數和上凸函數.

函數凹凸性的幾個等價命題：

(1)當切線(一階導數)在函數圖象上方時，函數是上凸函數，反之為下凸函數；

(2)當一階導數單調遞減時，函數是上凸函數，反之為下凸函數；

(3)當二階導數小于等于零時，函數為上凸函數，反之為下凸函數.這幾種描述方式都是等價的，只是所站的角度不同，可參見文[2].

二、函數凹凸性在高考數學試題中的命題分析

函數的凹凸性作為描述連續函數局部性質的方法，不僅在高等數學中具有廣泛而重要的應用價值，而且是高考數學的命題熱點.在刻畫函數的凹凸性時，可以利用一階、二階導數等，這就將函數的凹凸性與高中數學中的導數知識聯系起來.近年來，為何以導數作為高考數學的壓軸題呢？有三點猜測：其一是導數本身蘊含了豐富的數學思想，如分割思想、極限(逼近)思想、特殊與一般思想、局部與整體思想等；其二是導數是研究連續函數和離散變量的重要工具，如在連續函數中，求函數的最大值、最小值、極值、拐點等，在離散型變量中，如求數列通項、求和、求極限等.其三是高中導數與大學數學中的知識點交匯較多，可以為高考數學命題者提供更多的視角和切入點.

例1(2018年高考理科全國卷Ⅰ第16題)已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是.

f(x)=2sinx+sin2x=sin(π-x)+sin(π-x)+sin2x

評注該試題在當年高考中的得分率比較低，看似簡單的試題，實則具有很強的“殺傷力”，很多考生過后反映，該題的運算量太大了，在高考場上耽誤了太多時間.但這是高考數學中的一道優秀試題，值得細細地去品味.其實，該試題的思路有很多，如導數法、換元法、均值不等式法等，或者是憑借不等式的取等條件，用已有的經驗去“先猜后證”.

例2 (2017年全國高考數學文科卷Ⅱ第21題)設函數f(x)=(1-x2)ex.

圖1

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

所以，a的取值范圍為[1,+∞).

評注該方法是從函數的凹凸性來求解參數的范圍，當然該試題的思路開闊，解決方法較多，如分類討論法、參數分離法、構造導數定義法、洛必達法則、柯西中值定理、拉格朗日中值定理等.在高考數學考試中，可以借助導數為工具，畫出函數的大致圖象，然后再利用二階導數來判斷函數的凹凸性，這對求解切線的斜率問題是有幫助的.

例3 (2014年新課標2理科第21題)設函數f(x)=ex-e-x-2x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)設g(x)=f(2x)-4bf(x)，當x>0時，g(x)>0，求b的最大值；

解析問題(1)和問題(3)解答略.對問題(2)，由題可知g(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)>0，即e2x-e-2x-4b(ex-e-x)>(4-8b)x.不妨設函數m(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)，則m′(x)=2e2x+2e-2x-4b(ex+e-x).注意到m′(0)=4-8b，且m(x)過點(0,0)，所以直線y=(4-8b)x恰好是函數m(x)在x=0處的切線.

當x>0時，要使得e2x-e-2x-4b(ex-e-x)>(4-8b)x成立，則需要過原點的直線y=(4-8b)x始終在函數m(x)圖象的下方.如果能夠說明函數m(x)在x>0時為下凸函數，則問題解決.對m′(x)求導，可得

m″(x)=4e2x-4e-2x-4b(ex-e-x)=4(ex-e-x)(ex+e-x-b).

令m″(x)=0，則ex-e-x=0或ex+e-x-b=0.由ex-e-x=0，可得x=0.代入ex+e-x-b=0，可得b=2.此時，函數m(x)只有x=0這一個拐點，即函數凹凸性的連接點.則現在需要對b進行討論，當b≤2時，易得x∈(-∞,0)時，有ex+e-x-b>0，ex-e-x<0，則m″(x)<0，于是m(x)在x∈(-∞,0)上是上凸函數.同理，可以判斷函數m(x)在x∈(0,+∞)上是下凸函數.對b>2，可判斷不成立.故要使m(x)>(4-8b)x，則需要b≤2.

評注該方法主要是關注函數m(x)在x=0處的切線，恰好是直線y=(4-8b)x的斜率，進而想到使用函數的凹凸性來求參數的取值范圍.可見，高考導數中求參數最值問題，常常利用函數的凹凸性來作為命題點.

(1)求實數a，b的值；

①求實數m的最大值；

②當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

例5 (2005年全國高考理科卷Ⅰ第22題)(1)設函數f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0

(2)設正數p1，p2，p3，…，p2n，滿足p1+p2+p3+…+p2n=1，求證：

p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥-n.

解析問題(1)解答略.問題(2)，可以用傳統的數學歸納法，這是一個關于正整數n的命題，并且問題(1)的結論，可以為問題(2)作歸納奠基，則只需要說明歸納假設和歸納總結即可，但是解答過程比較繁瑣，現在用高等數學的方法來證明.

因為00，所以函數g(x)在x∈(0,1)是下凸函數.由詹森不等式，可知p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n

即p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥-n.

評注可見，從高等數學的視角出發，可以極大地簡化運算量.只需要掌握函數凹凸性的兩個核心步驟即：求導判斷、放縮，然后就直接使用詹森不等式來證明，而詹森不等式，就是推廣了的函數凹凸性的不等式性質.因此，從本質上講，依然是用函數的凹凸性.

三、對數學教學的啟示

要回歸教材.高中數學教材是學生學習數學知識和形成數學素養的重要載體.然而，現行的高中數學課堂，已經脫離了數學教材，更多的是用導學案、輔導資料等來代替教材，通過短時間的知識講解，就進入幾乎“瘋狂”的“刷題+評講”模式，然后在不斷的試錯中積累數學經驗.在這種教學模式下，學生體會不到數學學習的快樂，感覺數學就像是無盡的深淵.2012年，新浪微博曾做過一項調查，有將近70%的人想讓數學“滾出高考”，可見大部分人曾經被數學傷害過.這可能是“題海戰術”對他們的身心造成了傷害.其實，數學教學應該回歸課本，將課本的知識點、習題、思考題等掌握好，然后再做適當的思維拓展題，這就足以應對高考試題了.同時，也可以留更多的時間來鍛煉和提升學生的其它能力，如組織、管理、口才、演講等能力，促進學生身心全面和諧的發展.