向量與條件交匯 破解與探究共存
——2019年北京卷理第7題

汪浩淼

(安徽省馬鞍山市和縣第三中學(xué) 238200)

一、真題在線

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

本題把平面向量與充要條件的判斷加以合理組合，以充要條件的判斷為“脈”，同時(shí)以平面向量的夾角與模的大小關(guān)系為“絡(luò)”，組成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)體系，加以合理邏輯推理及其應(yīng)用．并在此基礎(chǔ)上改變平面向量的夾角條件與模的大小關(guān)系加以進(jìn)一步探究與拓展，深入理解與掌握，提升能力與素養(yǎng)．

二、真題解析

方法1：(余弦定理法)

點(diǎn)評(píng)通過平面向量所對(duì)應(yīng)的余弦定理法，根據(jù)充要條件的判斷，從兩個(gè)角度加以分類討論，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與模的平方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積的正負(fù)情況，與對(duì)應(yīng)的平面向量的夾角情況對(duì)比，得以正確判斷．

方法2：(平方轉(zhuǎn)化法)

點(diǎn)評(píng)結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，通過平面向量的模的平方運(yùn)算加以等價(jià)轉(zhuǎn)化，得以確定對(duì)應(yīng)的平面向量的數(shù)量積的正負(fù)取值情況，結(jié)合平面向量的夾角的性質(zhì)與數(shù)量積的關(guān)系，即可得以正確判斷．

方法3：(平面幾何法)

點(diǎn)評(píng)結(jié)合以BC為直徑的圓O的直觀圖形，結(jié)合平面向量加法的幾何意義以及圓的性質(zhì)加以直觀分類討論，進(jìn)而得以正確判斷．從而也為點(diǎn)A在以BC為直徑的圓O外、上、內(nèi)三個(gè)不同的位置關(guān)系中以探究與拓展提供圖形，進(jìn)而得以有效類比與推廣．

三、變式拓展

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

例題(2017·全國(guó)Ⅱ文·4)設(shè)非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|，則( ).

A．a(chǎn)⊥bB．|a|=|b| C．a(chǎn)∥bD．|a|>|b|

解析由|a+b|=|a-b|可得|a+b|2=|a-b|2，則有a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b，即4a·b=0，則有a⊥b，故選擇答案：A．

四、規(guī)律總結(jié)

涉及平面向量的夾角問題，特別與之對(duì)應(yīng)的平面向量的數(shù)量積的正負(fù)取值問題，還要注意兩平面向量平行的情況，當(dāng)中涉及兩平面向量方向相同與方向相反問題，對(duì)應(yīng)夾角為零角與平角．特殊在一些夾角的判斷的求解過程中，容易出現(xiàn)遺漏或混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤，要引起高度的重視．