最優控制問題數值方法研究分析

摘 要：微分方程最優控制在科學和工程中具有廣泛的應用背景，它的數值求解方法一直是近年來非常活躍的研究分支。對該問題的提出和研究意義進行了闡述，對國內外研究現狀和發展動態做了分析，并且總結了幾個需要解決的關鍵科學問題。

關鍵詞：最優控制;數值方法;研究展望

1 研究背景和意義

偏微分方程最優控制問題作為一個非常活躍的研究分支，在實際工程領域與計算科學領域都有著廣泛的應用，例如，在液體流、大氣流、電磁場以及放射熱源和激光技術等許多方面都需要借助流體最優控制模型來分析和解決實際問題。許多實際應用問題，例如，癌癥治療過程中的熱處理、低溫超導激光能量的爆破和混凝土大壩的最優溫度控制，都涉及求解偏微分方程描述的最優控制問題。這類問題需要求解一個目標泛函的最小值，并且目標泛函中的控制變量要滿足偏微分方程描述的某個物理過程和一些其他約束條件。該問題是無窮維空間的求最優解問題，不能用計算機精確求解，為了準確而快速求解這類問題，數值計算方法的研究就變得特別重要。隨著人工智能的迅速發展，偏微分方程最優控制在人工智能領域也扮演了重要角色。如何利用已有的算法和理論，構造更加高效簡便的數值計算方法或研發數值計算軟件，應用到生物醫藥、人工智能、工業制造等也是亟待解決的問題。

為了準確且高效地求解偏微分方程最優控制問題，計算數學領域學者們對該類問題數值方法的研究顯得尤為重要。關于最優控制問題數值方法的研究已經取得了一批有意義的工作，但是，在如何構造高精度的數值格式方面的研究還相對較少，特別是針對復雜幾何區域問題或界面問題。快速高效的數值方法由于其能大大提高計算精度和計算效率等優點，具有重要的理論價值和更加實際的意義[1]。

2 研究現狀和發展動態分析

自從Lions對偏微分方程最優控制問題做出開創性理論，此類問題的計算方法成為了大量計算數學學者的研究熱點問題。目前對PDE最優控制問題的數值求解思路主要有兩種：第一種是先優化后離散，即先利用Lagrange乘子方法推導出最優控制問題的最優性條件，這個最優性條件包含狀態方程、伴隨方程和變分不等式，由于最優性條件是無窮維的，然后需采用一定的數值方法（如：有限元方法、有限體積元方法和譜方法等）進行離散，變成有限維的數值計算問題;第二種思路是先離散后優化，即先利用數值離散方法對原最優控制問題（目標泛函、控制方程和約束條件）進行離散，得到離散的最優控制問題，然后再利用優化算法逼近最優解。不論上面兩種方法選哪種，數值離散都是不可缺少的，因此好的離散方法對求出最優解是至關重要的。針對偏微分方程最優控制問題，數值方法的研究主要圍繞優化算法、離散、先驗和后驗誤差估計這幾個方面，并且出現了許多的研究成果，相關理論和誤差估計如文獻[2]所示。與控制無約束的最優控制問題相比，控制帶約束（如逐點約束，不等式約束和積分約束）的最優控制問題，其理論分析和計算方法都更為復雜和困難，一些學者進行了超收斂方法研究，并對積分型帶約束橢圓最優控制問題，得到了有限元最優誤差估計和超收斂分析。對于帶間斷系數的最優控制問題，相關的文獻很少[3]。Apel[4]考慮了帶間斷系數的橢圓分布控制問題，其中的擴散系數在不同的Lipschitz區域取值不同。為了避免界面處收斂階的損失，采用了分級網格方法。文獻[3]采用了浸入有限元方法處理界面。對拋物型最優控制問題的研究，研究工作者考慮了具有逐點約束的全離散有限元逼近。關于拋物最優控制的半離散混合有限元逼近，還有學者利用RTO有限元逼近狀態變量、分片常數逼近最優控制，并進行了誤差估計。隨后出現了線性和半線性拋物最優控制問題全離散混合有限元方法，關于具有逐點控制約束和積分控制約束的線性、半線性拋物方程及雙曲方程最優控制問題的相關研究隨后也出現了很多[5]。

針對流體控制問題，從有限元方法出發，許多學者做了探索，提出了各種各樣的高精度離散格式，例如非協調有限元方法[6]、自適應有限元方法和混合有限元方法等。劉文斌等人給出了Stoke方程分布最優控制問題的后驗誤差估計，為自適應有限元方法求解流體控制問題鋪平了道路。陳燕萍等人采用勒讓德伽略金方法數值求解Stoke方程分布控制問題，通過選擇適當的流速和壓力的離散空間，使得離散方程組的系數矩陣系數，對流體控制問題譜方法分析的超收斂性研究有著重要的參考價值。

帶有界面的最優控制問題也一直是計算數學家研究的熱點問題之一。目前，比較青睞的做法是使用與界面無關的網格來離散。在對計算區域進行剖分時，網格不需要擬合界面，即，允許界面穿過剖分單元的內部，這在文獻中經常稱為非擬合網格，例如最簡單的一致網格。利用這種網格求解流體界面問題有很多優點，比如說，網格的生成很簡單，即使對于幾何形狀非常復雜的界面也不需要花費大量的時間來生成網格;如果界面隨著時間移動，不需要對每一時間層重新生成網格，極大地減少了算法的復雜度和計算時間。浸入邊界方法將一個具有幾何形狀復雜且不停跳動的心臟模擬放到一個矩形盒中，利用Dirac delta函數作為源分布取代原來復雜的邊界條件。浸入邊界方法雖然簡單、具有魯棒性，但它是一個正則化的方法，只有一階精度。圍繞提高浸入邊界方法的精度，不少學者做了很多的研究工作。Lin等人[7]針對穩態二維Stokes界面問題提出了基于間斷Galerkin的矩形Q1/Q0浸入界面有限元方法。該方法把速度和壓力聯合在一起，通過耦合的界面跳躍條件構造浸入界面有限元空間。這也意味著，離散空間里的速度和壓力也是耦合在一起的，這增加了程序實現的難度。該方法的穩定性和最優收斂精度只是通過數值實驗去說明，其理論證明目前還欠缺。接著，Lin等人[8]利用該方法求解了帶有移動界面的二維Stokes問題。該方法的穩定性、收斂性、以及如何推廣到三維Stokes、Navier-Stokes界面問題還有待研究。

3 研究展望

仍然有很多待解決的關鍵問題：（1）最優控制問題求解區域為環形域時，有限體積方法中傳統的一致網格使得計算代價太昂貴，構造一個合適的計算網格，用最小的代價取得預期的計算精度是求解過程中比較關鍵的一個問題。（2）對于邊界控制問題，最優控制的正則性降低，限制了我們使用有限元空間的多項式次數，為了得到整體超收斂的結果，采用一定的插值后處理技巧是比較關鍵的問題。（3）由于系數在界面處產生間斷，偏微分方程最優控制問題的解跨過界面上有跳躍，而且其導數也不連續，在構造計算網格時，允許界面穿過某些單元的內部，這樣如果在這些單元上面還用傳統的多項式函數去逼近，則逼近效果不好，甚至會出現錯誤。如何在這些單元上構造出好的逼近函數是需要解決的關鍵問題之一。（4）如果考慮非穩態且界面移動的情形，那么溫度場在時間方向上也存在著跳躍。在離散時間導數的時候，如果使用傳統的時間離散方法，比如說Crank-Nicolson格式，那么離散精度會損失，甚至不能得到正確的結果。如何修正傳統的Crank-Nicolson格式，使得精度不損失也是需要解決的關鍵問題。

參考文獻：

[1]龔偉，劉會坡，嚴寧寧.最優控制問題的有限元高精度分析及其應用——獻給林群教授80華誕[J].中國科學：數學，2015，45（7）：953-974.

[2]F.Trltzsch.Optimal control of partial differential equations：theory，methods，and applications，volume 112.American Mathematical Soc.，2010.

[3]張倩.幾類PDE約束最優控制問題的數值方法研究[D].南京師范大學，2016.

[4]T.Apel and D.Sirch.A priori mesh grading for distributed optimal control problems.In Constrained Optimization and Optimal Control for Partial Dif-ferential Equations，pages 377-389.Springer，2012.

[5]蘇夢雅.橢圓偏微分方程分布與Neumann邊界控制約束問題的有限體積元方法[D].南京師范大學，2019.

[6]覃燕梅，李輝，馮民富.Navier-Stoke方程最優控制問題的一種非協調有限元局部穩定化方法[J].應用數學和力學，2016，037（008）：842-855.

[7]S.Adjerid，N.Chaabane，L.Lin.An immersed discontinuous finite element method for Stokes interface problems，Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.，2015，293，170-190.

[8]S.Adjerid，N.Chaabane，L.Lin，and P.Yue.An immersed discontinuous finite element method for the Stokes problem with a moving interface，J.Comput.Appl.Math.，2019，362，540-559.

作者簡介：張倩（1988—），女，漢族，河南中牟縣人，博士，講師，研究方向：偏微分方程數值解。