和積原理——兩正數和與積的關系

鄧志雄

道理是事物具有的規律，是用以判斷是非的規則和理由，也是據以處理事情的辦法和打算。道理有大有小，小道理要服從于大道理。原理就是大道理。原理是具有普遍意義的道理，是可以作為其他規律的基礎的規律。

通過多年的琢磨，筆者逐漸體悟出兩正數的和C=X+Y與積S=XY中包含的一個重要原理，并嘗試用這個原理分析解釋了一些經濟和社會問題，得到了一系列新的認識。特請《產權導刊》開辟專欄與讀者分享，希望感興趣的同志結合實踐做出更多拓展。

1? 加法中的“和為常數現象”及其特點

小學一年級一開始，數學課就學10以內的加法。幾加幾等于10，是十進制算法中必須掌握好的重要學習內容和運算方法。

1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10，還有，5+5=10。

這5個等式，右邊的和都是10，左邊兩個相加的數則是此消彼長并互補為10的：1和9，2和8，3和7，4和6，5和5。一方面此消彼長，一方面和為定數，這兩個特點將給我們帶來很多有趣的討論。

放開了去想，100以內的數，也有這樣的特點嗎？

有的！

1和99，2和98，3和97，......，10和90，......，20和80，30和70，......，40和60，......48和52，49和51，50和50，一共50組數，都是兩加數此消彼長并互補為100的。

再放開去想，在1000以內，10000以內......直到更大范圍內，我們都能找到這種“兩個正數之和為常數”的現象。用代數來表達，就是“X>0，Y>0，且X+Y=C，C為常數”。

值得重點說明的是：和為常數的兩個正數一定是圍繞常數此消彼長的，而此消彼長的兩個正數必然互補形成一個常數。這是因為，在等式X+Y=C中，當C是常量時，X擴大Y就得等量縮小，X縮小Y就得等量擴大，即：（X+⊿）+（Y-⊿）=X+Y=C，所以和為定值的兩正數的變化總是圍繞著這個定值此消彼長的。反過來看，也有此消彼長的兩個正數的和一定為定值。這是因為系統中只有此消彼長的兩個數，若一個減小與另一個的增大等值，自然導致二者之和不變，即：（X-⊿）+（Y+⊿）=X+Y=C。

這一特點在直角坐標系中可以看得更清楚。如圖1所示，X+Y=C是經過（C，0）、（0，C）兩點的直線，（X，Y）是直線上一個動點。當動點沿直線運動時，始終有X+Y=C和X與Y此消彼長的約束關聯。因C不變，任何X之長必導致Y的等量之消，反之，任何X之消必要求Y的等量之長。更清楚些看，令C=1，則X和Y就是互補為1的兩個小數，它們之間當然是此消彼長的關系。

2? 和為常數的兩個正數的乘積比較

將10以內和為10的5組數彼此相乘，我們發現：

1×9=9，2×8=16，3×7=21，4×6=24，5×5=25。

認真觀察思考，讀者會有三個發現：兩乘數的差距越大，其積就越小。兩乘數差距越小，其積就越大。兩乘數相等時，其積最大。

顯然，不難驗證，在100以內、1000以內、10000以內，情況也是這樣。

更開放些，可以想象，在無限大范圍內，當“兩個正數之和為常數時，其乘積將在兩數差距增大時縮小，在兩數差縮距縮小時增大，并在兩數差為0即兩數相等時取得最大”。

當然，這需要加以數學證明。

3? 和積原理的代數表達與證明

上述思想用代數語言表達就是：“若X>0，Y>0，且X+Y=C，C為常數，則S=XY將在X與Y的差距擴大時趨于縮小，在X與Y的差距縮小時趨于增大，并在X與Y的差距為0即X=Y時取得最大值”。

這里，兩數差距指兩數差的絕對值。其證明如下：

由于X+Y=C，C為常數，

故有：

S=XY

=X（C﹣X）

=CX﹣X?

=﹣（X﹣C/2）? + C2/4

由于﹣（X﹣C/2）?≤0，因此，當（X﹣C/2）增大時，S將趨于縮小;當（X﹣C/2）縮小時，S將趨于增大;當（X﹣C/2）=0即X=Y=C/2時，S將取得最大值：SM= C2/4。

而當X>C/2時，|X-Y|=2X-C，（X-C/2）增大即X增大，X與Y的差距|X-Y|=2X-C將隨之增大;

當X

當（X-C/2）=0時，X=Y=C/2，X與Y的差距|X-Y|=0。

于是得證！

這個定理揭示了兩個正數X與Y的“和”C=X+Y與“積”S=XY變動趨勢的關聯關系，利用這條定理中相關因素間的運動規律和辯證關系，我們可以解釋不少經濟社會現象，即這條定理是一條能管大用的科學原理，因此，我們將這條數學定理命名為“和積原理”。

4? 和積原理的幾何意義

恩格斯說，“笛卡爾的變數是數學中的轉折點，從此，運動和辯證法進入了數學。”如圖2所示，把S=XY放到笛卡爾直角坐標系中去表達，我們可以更清晰的看到，點（X，Y）沿著直線X+Y=C運動時，表現為長方形面積的S=XY變化的趨勢和極值情況。

圖2中，X、Y都處在第一象限，表示X>0，Y>0;滿足X+Y=C的點集合在連接但不包括（C，0）、（0，C）兩點的線段上，它們共同構成了S=XY極值原理的邊界條件。點（X，Y）是邊界線段上的一個動點，其橫坐標是X，縱坐標是Y，這個點沿著邊界線段運動時，分別以其橫坐標X和縱坐標Y為長和寬的矩形的面積S=XY隨之發生變化。點（C/2，C/2）是邊界線段的中點，連接這個中點和坐標系原點的直線的方程是X=Y，由這個中點為右上角構成的矩形是代表SM的正方形。

S=XY的解析幾何意義主要是點（X，Y）的運動帶來的以下幾個特點：

1.當動點（X，Y）向著中點（C/2，C/2）運動時，無論是從（C，0）點往左上行，還是從（0，C）點往右下行，都會出現X與Y的差距不斷減小，二者大小逐漸趨向均衡，矩形S隨之趨近于正方形，其面積S不斷擴大;

2.當點（X，Y）與中點（C/2，C/2）重合時，X=Y=C/2，X與Y差距為0，矩形S變成正方形，矩形面積S=XY達到最大值：SM= C2/4。

3.當動點（X，Y）從中點（C/2，C/2）沿著邊界線向（C，0）點運動時，雖然X逐漸增大，但同時Y不斷減小，X與Y的差距越來越大，導致S=XY逐漸變小，當動點（X，Y）趨近于點（C，0）時，S=XY便趨近與0，二維的矩形趨近消退成一條沒有面積的一維直線（X軸）。

當動點（X，Y）從中點（C/2，C/2）沿著邊界線向（0，C）點運動時，雖然Y逐漸增大，但同時X不斷減小，Y與X的差距也越來越大，也會導致S=XY逐漸變小，當動點（X，Y）趨近于點（0，C）時，S=XY也趨近于0，二維的矩形亦趨近消退為一條沒有面積的一維直線（Y軸）。

上述解析圖像十分明晰地告訴我們，在X>0、Y>0，X+Y=C的前提下，X、Y要相向而行，S=XY才能在X與Y的均衡增長中不斷實現增長;X與Y要取得相等，S才能獲得最大;一旦X和Y背道而馳，S就會隨之減小。和積原理的這些重要思想和科學結論，我們將在討論資源利用最大化、復合資本市場建設、混合所有制發展、病毒疫情防控和企業管理等問題時反復加以利用。

5? S值的單因素分布情況

將上述討論中S值大小的變化沿坐標系橫軸展開，我們可以作出C為定值時S值的橫向分布圖。

一般而言，二次函數S=aX2+bX+C的圖像是一條拋物線。二次項系數a決定拋物線的開口方向，當a>0時，拋物線開口向上;當a<0時，拋物線開口向下。拋物線對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P，其坐標為P（-b/2a，（4ac-b2）/4a）。

按照上述“3”中的分析，S相對于X的函數式為S=﹣X2+CX 。按照上述知識，這條拋物線開口向下，頂點最高;對稱軸為X=C/2;頂點坐標為P（C/2，C2/4），即X=Y=C/2時，SM= C2/4。

令C=1后作圖，所得圖3就是S值的橫向分布圖。這是一條以（1/2， 1/4）為頂點的開口向下的拋物線。在X值從0（不含0）向1/2逐步增大的時候，S的值隨之逐步增大，但增速逐漸降低。當X值等于1/2時，S的值達到最大值 1/4 。當X值大于1/2后繼續向1增大時，S的值逐步減小，減速逐步加快。當X趨近于1，S就趨近于0。

圖4給出了C=1/2、C=1、C=2、C=3時S值的橫向分布組圖。由圖可見，隨著C值的增大，S的極大值有更快的升高。其中原因在于SM= C2/4中，當C發生增長時，SM會發生C2倍變化，其間蘊含著一種倍積的力量。

圖5是C=10時S值的橫向分布情況。此時，S值的曲線已經是一個高挑漂亮的拋物線了。可以想象，當C取更大數值時，S的曲線將變得更高更尖。

基于X、Y的對稱性，可照此作出S沿Y軸展開的縱向分布圖。事實上，將圖2的X軸反時針旋轉900到Y軸位置就得到S的縱向分布圖。而在旋轉過程中產生的切割體就是S=XY的立體模型。

S值單因素分布圖的一個重要特點是，除了拋物線的頂點之外，相對于每一個S值，都有兩個X值與之對應。兩個X值對應同一個S值，在經濟問題中就出現政策取舍問題。這一特點將在討論拉弗曲線時再作深入分析。

6? 兩數之積S的極大值SM

從第三節的分析中我們得知，兩數之積S的極大值SM由兩數之和C來決定：SM= C2/4。若在一定的時段內，X與Y兩數之和C不變，這個階段中兩數之積S的極值就不會增大或縮小。進入一個新的階段后，當C發生變化，S也就將隨之發生變化。由此產生做大蛋糕C=X+Y以求得S新的發展空間問題。如圖6所示，當直線X+Y=C向內外平行移動時，其中點（C/2，C/2）將沿著直線X=Y運動。因此，不同的C值將共同給出一組不同位置上X+Y=C的平行線。顯然，要分階段做大S的極值，就得創造條件，打破常規，爭取隔一段時間就將邊界線平行向外推進一段，分階段做大C值這個蛋糕。當然，工作中更要盡力防范系統風險，始終保持X與Y的均衡，嚴防C的向內縮減帶來的系統性衰退。有關這方面的深入討論，將在分析帕累托改進與帕累托最優問題時展開。

7? 和與積的跨越發展邊界線

值得指出的是，由于小數乘法自身的規律性，在S的增長過程中存在著一條關鍵性的跨越發展邊界線。結合圖4和圖7分析可知：

在0

在C>1階段，C2>C，指數函數的升維效應得以發揮作用，兩數積S會隨著兩數和的增長出現更加快速的增長。

這就表明，C=1是S發展提升中的一條跨越發展邊界線。在此之前，SM的極值空間非常有限，在此之后，S的極值空間迅速拓展。馬泰效應等強者恒強的經濟社會現象可以由此得到解釋。先發國家占據科技與金融等C>1的高端實現持續發展，多數后發國家則仍然處在人才與資本等C<1的低端未能有效突破，原因就在于此。前者倍嘗XY>X+Y好處，后者吃盡XY