兩角和與差的余弦

陳長利

摘 要：理解兩角和與差余弦公式的推導過程，掌握兩角和與差的余弦公式并能解決簡單的問題，理解向量解決問題的方法，培養學生運用數學工具在實踐中探索知識，獲取知識的能力，通過對公式的推導與簡單應用，使學生經歷數學知識的發現、認知的過程，體驗成功探索新知的樂趣，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試，從而提高學生的學習興趣。

關鍵詞：兩角和與差 余弦公式 推導與證明

一、教學方法

在教學時，我們要從特殊到一般引導學生了解公式的形成過程，我們還要用類比和對比的方法，找出公式間的區別與聯系，有利于學生的系統記憶和運用。

二、教學過程

[復習引入]

1.向量數量積的概念 2.向量數量積坐標運算公式

設計意圖：讓學生回答問題1、2，復習舊知識，為新知識的學習做準備。

[問題探究]

引例：如圖：已知P、Q為角45?，30?終邊上的點，OP=3，OQ=2，

問題1：求點P、Q的坐標。

P（3cos45°，3sin45°）

Q（2cos30°，2sin30°）

設計意圖：通過特殊例子，根據向量數量積的定義和坐標運算可以得出：同一種運算，結果一樣。并引導學生發現兩邊的6可以消去，為下面公式的推導做好鋪墊。

問題3：這個等式是否具有一般性？（讓學生自己寫出結論）如果把上式中的45?，30?分別換成任意角α ，β，則cos（α -β）=cosαcosβ+sinαsinβ是否成立？這需要證明，怎樣證明？

[公式推導]如圖：在平面直角坐標系中，以OX軸為始邊，作角α，β。在α，β終邊上分別取因為等式與向量的長度無關，為了運算的方便，我們引入單位圓。在教學中，為什么要引入單位圓，要和學生講清楚。（學習小組合作探究，老師引導，師生共同完成）

得出結論：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ公式記號Cα-β

設計意圖：在坐標系中找到差角的幾何表示，引導學生試探采用向量方法去解決問題，同時也體會到向量的工具性作用，讓學生體會由特殊到一般的思想方法。

[公式深化]

探究cos（α+β）的公式

分析：把公式Cα-β 中的β換成-β，

cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

總結：

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

老師設問：（1）公式成立的條件？（2）公式有何結構特征？如何記憶？

學生回答：（1）α，β ∈ R （2）公式的結特征：歸納為“余余正正符號反”

設計意圖：通過對問題的討論，讓學生對公式對有一個清晰完整的認識，進一步培養學生探索的能力。對公式進行深挖掘，顯示其“輻射”的作用，培養學生的分析、聯想能力，優化思維品質。

[公式應用]

例1（1）求cos105?及cos15?的值

（2）cos20?cos25?-sin20?sin25?

（3）cos（α+β）cosβ-sin（α+β）sinβ

設計意圖：公式的正用，逆用。非特殊角轉化為特殊角的和或差，可以求值或化簡。

設計意圖：此例題教師在黑板上形成板書，學生規范思考，規范步驟。

例3 證明：cos（π-α）=-cosα

設計意圖：找出兩角和與差的余弦與誘導公式的關系，公式的應用——證明，并進一步熟悉公式的特征，及時鞏固所學知識，為公式的靈活應用作鋪墊。

[歸納小結]

知識：兩角和與差的余弦公式及其推導。

數學思想和方法：數形結合，分類討論，轉化與化歸思想。

設計意圖：對本節課的內容進行歸納總結，使學生對本節知識有一個清晰完整地認識，并點出問題解決的基本思路與方法，使學生養成歸納總結的習慣。

[作業布置]層次一? 練習A? 層次二? 練習B

設計意圖：鞏固所學知識，養成及時復習的好習慣。

三、教學反思

1.在教學過程中，結果很重要，我們更要注重知識的形成過程，有老師或者學生經常忽視這一點，只片面地追求一些結果和結論，而本教案著重體現了知識的形成過程。特別是在證明的時候，為什么要引入單位圓，本學案講得非常清楚。

2.在講例題時，教師要率先示范，學生規范思考，規范步驟。講完例題后及時總結反思，培養學生及時梳理知識，總結反思的習慣。然后練習，及時鞏固學過得知識和方法。

3.本教學主要以學生為主體，讓學生更多地參與課堂教學，培養了學生學習的自覺性和主動性，通過小組合作學習，培養學生合作的精神。