淺談點的移動與函數圖象的平移之間關聯

蔣勤

摘 ?要：學生已在初一年級的時候學過平面直角坐標內點的移動規律，以及圖形在平面坐標系內移動的規律都是“上加下減，左減右加”;但在學習了函數圖像后，特別是初三年級上冊第二十二章二次函數圖象后，函數圖象平移規律為“上加下減，左加右減”。點的平移和二次函數圖象的平移上下移動規律一致，下面就探究左右平移的關聯以及解決方案！

關鍵詞：點圖形函數;移動;規律

一、目標和地位

點和函數圖像的平移在中考中占一定的比例;考查重點為在平面坐標系內點以及函數的平移，從而得到新點和函數，并通過新點或新圖象解決問題。本篇文章在學生已經學習了平面坐標系內點的平移的基礎上，對比學習二次函數圖象的平移，發現規律不統一，從而繼續對兩者及研究。這是對平面直角坐標系研究的延續。學生需要掌握點的平移和函數的平移，對于解函數的題很有用。

二、知識點的陳述，

（一）點平移的規律;

“例如圖（1），三角形ABC三個頂點坐標分別是A（4，3），B（3，1），C（1，2）.

解：如圖（2），所得三角形A1B1C1以及三角形A2B2C2都與三角形ABC的大小、形狀完全相同，三角形A1B1C1可以看作將三角形ABC向左平移6個單位長度得到.類似地，三角形A2B2C2可以看作將三角形ABC向下平移5個單位長度得到.”

點的變化引起圖形移動的規律：

（1）將點（x，y）的橫坐標加上一個正數a，縱坐標不變，即（x+a，y），則其新圖形就是把原圖形向右平移a個單位.

（2）將點（x，y）的橫坐標減去一個正數a，縱坐標不變，即（x-a，y），則其新圖形就是把原圖形向左平移a個單位.

（3）將點（x，y）的縱坐標加上一個正數b，橫坐標不變，即（x，y+b），則其新圖形就是把原圖形向上平移a個單位.

（4）將點（x，y）的縱坐標加上一個正數b，橫坐標不變，即（x，y-b），則其新圖形就是把原圖形向下平移b個單位.

（二）函數圖象平移的規律

一次函數圖象的平移

（1）直線y=kx+b（k≠0）向上或向下平移m（m>0）個單位時，解析式變為y=kx+b+m或y=kx+b-m;（2）直線y=kx+b（k≠0）向左或向右平移m（m>0）個單位時，解析式變為y=k（x+m）-b或y=k（x-m）+b。

口訣：“上加下減”，“左加右減”。

二次函數圖象的平移

一般地，拋物線y=a（x-h）2+k與y=ax2形狀相同，位置不同。把拋物線y=ax2向上（下）向左（右）平移，總結八個字“上加下減，左加右減”。可以得到拋物線y=a（x-h）2+k.

三、出現的問題;

出現練習題“求出函數y=-2（x+1）2+8的圖象的對稱軸、頂點坐標，畫出函數圖象，并說明圖象是由拋物線y=-2x2經過怎樣的平移得到的。”，班上大部分同學都能根據函數圖象移動的規律得到正確答案，有部分學生的答案和正確答案正好相反，但是平移的量一樣，就僅是方向正好相反。然后讓學生理解如何平移。對于拋物線y=-2（x+1）2+8，求這個函數頂點坐標和對稱軸的問題，可以用y=a（x-h）2+k對應去找，注意字母與數字的對應，其中h對應-1，k對應8，所以可以得出該函數的定點坐標為（-1，8），對稱軸為x=-1。對于函數圖像的移動，是由函數圖像的平移要領“上加下減，左加右減”[1]該拋物線是由拋物線y=-2x2向左平移1個單位量，向上平移8個單位量得到。但是有學生提出：函數圖像也是由平面直角坐標系內的一個個點組成的，為什么不能根據點的運動規律完成呢？點的平移是“上加下減，左減右加”[2]，而現在函數圖像的平移是“上加下減，左加右減”，發現上下都是一樣的，可是左右是相反，且是互相矛盾的，為什么會不一樣呢？那我們能不能把點的平移和函數圖象的平移歸納總結成一個規律，研究清楚為什么會出現這樣的不同呢？

四、解決問題;

（一）追根溯源，究其原因;

點在平面坐標系內的移動的問題，運用“上加下減，左減右加”[2]，而函數圖象的平移規律是“上加下減，左加右減”。它們左右移動為什么方向不同呢？

我覺得函數圖象也是在平面直角坐標系內由一個一個的點組成的，所以符合點移動的規律：“上加下減，左減右加”。假設函數y=kx+b（k≠0）上有一個點A（x，y）僅向左平移a個單位，則根據點的移動規律有新的點B（x1，y），所以這兩個點之間存在著的關系是：x1=x-a，而原函數中并沒有自變量x1，只有自變量x;所以要把x1=x-a變為x=x1+a才能帶入原函數y=kx+b中，得到新函數y=k（x1+a）+b。同理可得原函數y=kx+b（k≠0）向右平移得到新函數y=k（x1-a）+b（k≠0）二次函數y=a（x-h）2+k的平移也是這樣的道理。這樣就是函數圖像平移規律為什么是“上加下減，左加右減”的原因。

（二）解決建議;

在平面直角坐標系內根據平面直角坐標系的特點有規律“上加下減，左減右加”。即原點向上面為y軸的正半軸，即在y值上加一個數值，“上加”。原點向下為y軸的負半軸，即在y值上減一個數值，“下減”。在原點的左是x軸負半軸，即在x值上減一個數值，“左減”。原點向右為x軸的正半軸，即在x值上加一個數值，“右加”。所以有了“上加下減，左減右加”[2]。我覺得函數圖象的平移也可用這八個字進行總結“上加下減，左減右加”[1]。這樣既符合平面直角坐標系的規律也減輕學生的記憶負擔，這些問題不用學生分類處理，避免學生的知識混淆了。

五、總結

教無定法，教學生活學數學，教可以應用的數學知識。一次函數、反比例函數、二次函數以及在平面坐標系內移動點和圖形的規律都統一為“上加下減，左減右加”[2]。但是一次函數平移時，一次函數要對于為y=k（x1-），以及二次函數要對應它的頂點式y=a（x-）2+h。我在以后的教學過程中，就用以上總結的結論進行教學，這樣可以為學生減少困擾！所以在平面坐標系內所有平移的規律為“上加下減，左減右加”[2]，也是符合平面直角坐標系的特點和規律的！

參考文獻

[1] ?義務教育教科書-人教版九年級上冊第22.1.3;

[2] ?義務教育教科書-人教版七年級下冊第7.2.2;