關于如何運用“數(shù)形結合”思維開展一元一次不等式（組）教學實踐的思考

楊春梅 李珺

數(shù)學家華羅庚曾說過“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。”數(shù)形結合兼有數(shù)的嚴謹性與形的直觀性兩大優(yōu)勢，是優(yōu)化解題過程的一種重要途徑。在教學中有意識的向學生滲透這種思想，既可以拓展學生的數(shù)學思維，也可以培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。筆者在對所教學生進行學情分析的基礎上，結合實際，將數(shù)形結合思維靈活融入一元一次不等式（組）及相關知識的教學的全過程，嘗試讓復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，提升課堂教學質量，取得了較好的效果。現(xiàn)就結合“含參數(shù)的一元一次不等式組中的參數(shù)的取值范圍”的教學過程談談自己的實踐體會。

類型1：不等式組有解（為未知數(shù)，為參數(shù)）

（1）不等式組 有解，則的取值范圍___________。

（2）不等式組 有解，則的取值范圍___________。

（3）不等式組 有解，則的取值范圍___________。

解析：可用求不等式組的解集的口訣“大小小大中間找”反推;也可用數(shù)軸來解決。這兩種方法結合起來效果更佳。

（1）畫數(shù)軸

先畫數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出不等式組中兩個不等式的解集，先畫已知不等式的解集，再用口訣“大小小大中間找”，畫出未知不等式的解集，可直觀展現(xiàn)不等式組的解集，同時得出取值范圍。

由此可得， ?。

（2）畫數(shù)軸 （畫的過程同（1））

由此可得， 。

（3）畫數(shù)軸 （畫的過程同（1））

由此可得 ， 。

觀察3個不等式組的結論，只有第（3）個取了“等號”。對于這個“等號”取還是不取，很多同學很迷惑，可歸納為一句話“單空雙空不取等，你實我實才取等”。（所謂“單空雙空不取等，你實我實才取等”是指在不等式組中只有一個不等式不含等號或兩個不等式都不含等號，不等式組中的參數(shù)的取值不取等號：不等式組中兩個不等式都含有等號時，不等式組中的參數(shù)的取值才取等號。）

類型2：不等式組有幾個整數(shù)解 （為未知數(shù)，為參數(shù)）

（1）不等式組 ??有3個整數(shù)解，則的取值范圍___________。

（2）不等式組 ?有3個整數(shù)解，則的取值范圍___________。

（3）不等式組 ??有3個整數(shù)解，則的取值范圍___________。

解析：用數(shù)軸法來解，在數(shù)軸上表示解集時，先把已知那個解集表示出來，再去確定未知解集的大概位置。

（1）畫數(shù)軸

因為有3個整數(shù)解，已知的第一個不等式x的解集小于2，就從2的左邊第一個整數(shù)1開始往左邊數(shù)3個整數(shù)，這3個整數(shù)分別為-1、0、1，那么的取值應在最左邊的整數(shù)-2與-1之間，因為第二個不等式x的解集大于m，所以m可以等于-1。

即 ???。

（3）畫數(shù)軸

因為有3個整數(shù)解，已知的第一個不等式x的解集大于-1，就從-1的右邊第一個整數(shù)0開始往右邊數(shù)3個整數(shù)，這3個整數(shù)分別為0、1、2，那么的取值應在最右端的整數(shù)2與3之間因為第二個不等式x的解集小于或等于m，所以m可以等于2。

即 ?????。

（3）畫數(shù)軸

因為有3個整數(shù)解，已知的第一個不等式x的解集是小于或等于2，就從2開始往2的左邊數(shù)3個整數(shù)，這3個整數(shù)分別為0、1、2，那么的取值應在最左邊的整數(shù)0與-1之間，因為第二個不等式x的解集大于或等于m，所以m可以等于0。

即 ???.

觀察 3個不等式組的結論，每一個都有一邊取了等號，那么哪一邊取等號呢？如何才能確定？用一句話來概括：“單等雙等大數(shù)取等，都無等號小數(shù)取等。”（所謂“單等雙等大數(shù)取等，都無等號小數(shù)取等”是指在只含一個等號或兩個等號的不等式組中參數(shù)的取值較大的數(shù)取等號，不含等號的不等式組中的參數(shù)的取值較小的數(shù)取等號。）

類型3：不等式組有幾個非正（負）整數(shù)解（為參數(shù)）

（1）不等式組 只有2個非正整數(shù)解，則的取值范圍_____________。

（2）不等式組 ?只有2個非負整數(shù)解，則的取值范圍_____________。

解析：注意結合口訣“同大取大，同小取小”的使用。

（1）畫數(shù)軸

先畫數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出不等式組中兩個不等式的解集，先畫已知不等式的解集，再用口訣“同大取大”，畫出未知不等式的解集，可直觀展現(xiàn)不等式組的解集，因為“只有2個非正整數(shù)解”，就只能是0、-1，原不等式組的解集只能是 ，得出取值范圍。

由此可得， 。

（2）畫數(shù)軸

先畫數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出不等式組中兩個不等式的解集，先畫已知不等式的解集，再用口訣“同小取小”，畫出未知不等式的解集，可直觀展現(xiàn)不等式組的解集，因為“只有2個非負整數(shù)解，就只能是0、1，原不等式組的解集只能是，得出取值范圍。

由此可得， ?。

像這個類型的題可以用簡單的一句話來確定，“同大小取等，同小大取等”。（所謂“同大小取等，同小大取等”是指在不等式組中兩個不等式都是大于符號，不等式組中的參數(shù)的取值中小的那個數(shù)取等號;不等式組中兩個不等式都是小于符號，不等式組中的參數(shù)的取值中大的那個數(shù)取等號。）

綜上，關于解決一元一次不等式組中參數(shù)的取值范圍問題，抓住以下三個關鍵點，問題迎刃而解。

一是不等式組有解的口訣要記牢：“同大取大，同小取小，大小小大中間找”。

二是對于第二類、三類的參數(shù)的取值范圍一定是在兩個連續(xù)的整數(shù)之間。如果大于符號對應的數(shù)是已知的，就往數(shù)軸的右邊數(shù)，數(shù)到末端再往右數(shù)一個單位，參數(shù)取值的界點就是末端數(shù)與右邊的整數(shù);如果小于符號對應的數(shù)是已知的，就往數(shù)軸的左邊數(shù)，數(shù)到末端再往左邊數(shù)一個單位，參數(shù)取值的界點就是末端數(shù)與左邊的整數(shù)。

三是類型分清，口訣用對。在解題的過程中一定要看清屬于哪一種類型。