深證綜指的ARMA-GARCH 模型實證分析

王 莉

(南京財經大學應用數學學院，江蘇南京210023)

波動性研究從Fama 建立隨機游走模型，第一次用動態模型來刻畫股價的波動開始。 后來被人們更廣泛應用的是自回歸條件異方差(ARCH)模型，由Engle 于1982 年首次提出，Engle 開辟性地運用時間序列模型來描述和預測股指以及其他金融資產指數的波動聚集性。 但ARCH 模型在實際應用中也顯露出局限性，它只適用于短期自相關的異方差函數，于是Bollerslev 在ARCH 模型基礎上提出一種廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型，此模型在對時間序列的波動性研究領域中頗受歡迎，尤其在金融方向。 Surya 和Wibowo 通過對東盟地區的油價波動和股票收益建立GARCH 類模型來進行實證分析。 文章以深證綜指為例，結合ARMA 模型和GARCH 模型對其進行描述分析。 首先，簡要分析了對數日收益率序列的基本統計特征，并檢驗其平穩性、自相關性和ARCH 效應；建立 ARMA-GARCH 和 ARMA-EGARCH 兩個模型分別對深證綜指對數日收益率序列進行擬合、描述分析，進而發現我國股票市場的波動特征。

一、 實證研究設計

(一)數據選取及基本的描述統計

文章選取了1991-04-03 至2020-01-10 共7062 個深證綜合指數數據進行實證分析。 數據來源于Wind 數據庫，所用軟件版本為EViews7.2。 為了保證所研究的序列具有穩定性，對樣本數據進行如下處理，這里，Rt代表對數日收益率，Yt代表日收盤價。

由EViews 對序列Rt的基本描述性統計結果可知，其峰度遠大于正態分布的峰度3；偏度大于0，故Rt序列的分布呈“尖峰右長拖尾”狀，P值為0.00000，拒絕服從正態分布的原假設，因此不能隨意地用正態分布來擬合深證綜指對數日收益率的分布，需要對這一序列做進一步的實證分析。

(二)平穩性及自相關性檢驗

1. 平穩性檢驗

檢驗序列是否平穩和非隨機是對其進行建模和分析前所必做的第一步。 文章使用 ADF 檢驗(augmented Dicky-Fuller test)來檢測Rt序列的平穩性，得到ADF 檢驗的t統計量值為-25.08870，在1%、5%、10%的顯著性水平下，均低于臨界值-3.431099、-2.861755、-2.566927，P值為0.0000，故拒絕序列存在單位根的原假設，即認為Rt序列具有平穩性。

2. 自相關性檢驗

文章通過對自相關函數的分析來完成對Rt序列的自相關性檢驗。 由檢驗結果得，無論是序列的自相關系數(AC)還是偏自相關系數(PAC)，它們的值都接近于0，Q統計量值也隨著滯后階數的增加而增大。 由于P值均為0.000，故拒絕原假設。 因此認為該序列為非隨機序列，即序列值之間存在自相關性，且是長期自相關。

又Rt序列的AC 和PAC 值在滯后一期后開始遞減，后面雖有波動現象，但總體是遞減的，且根據AIC 判斷準則，結果發現ARMA(1，1)模型擬合效果最佳，建立的均值方程如下:

其中，εt為隨機誤差項，參數η、λ分別為AR(1)項和 MA(1)項，由ARMA(1，1)模型擬合結果，可以寫出估計的均值方程為:

(三) ARCH 效應檢驗

現檢驗ARMA(1，1)模型擬合的均值方程(3)的殘差項是否具有ARCH 效應。 由滯后1 期的ARMA(1，1)擬合模型殘差項的ARCH 效應檢驗結果可知，其P值為0.0000，于是得出:在顯著性為1%、5%、10%的水平下，都應拒絕原假設，即認為模型中存在ARCH 效應。 因此對深證綜指對數日收益率Rt序列可以考慮建立GARCH 模型繼續深入分析。

二、 實證研究與結果分析

(一)GARCH 模型

GARCH 模型因為具有記憶時間長和滯后結構靈活等優點，被廣泛運用于描述和預測金融市場波動性。 在對波動性進行實證研究的過程中，一般選取GARCH(1，1)模型進行擬合。

由擬合結果可知，當顯著性水平為0.05 時，ARMA(1，1)和GARCH(1，1)兩個模型擬合的所有系數的P值均為0.0000，具有較高的顯著性，在這方面可以認為，ARMA(1，1)-GARCH(1，1)模型擬合效果較好，得到的均值-方差方程分別為:

在方差方程中，可算得GARCH 項(ht)和ARCH 項(ε2t)系數之和為0.994969，小于1，滿足參數約束條件。 且由于系數之和接近于1，表明當深證股市市場受到沖擊時，帶來的動蕩雖然會衰減，但影響會較持久。

由ARMA(1，1) -GARCH(1，1)擬合模型殘差項的ARCH-LM 檢驗結果可知，其P值明顯大于顯著性水平0.05，應接受原假設，故可以認為殘差項中不存在ARCH 效應，由此表明ARMA(1，1)-GARCH(1，1)模型明顯地消除了序列的異方差性。

(二)EARCH 模型

由于EARCH 模型對參數值的要求可正可負，適用于非對稱性的描述，故文章運用EARCH 模型進行輔助驗證，以便可以更好地說明我國深證股市市場風險的波動狀況。

由模型的參數估計結果可知，各參數估計的Z 統計量檢驗都較顯著。 EARCH(1，1)模型中，非對稱項的系數C(5)＝-0.023654，小于0，表明序列Rt存在著杠桿效應，即在其他條件相同的情況下，利空消息對深證股市的影響大于利好消息對其的影響。 根據非對稱效應參數C(4)＋C(5)＝0.187495可知，當市場出現利好消息時，其對序列Rt的條件方差的影響為0.187495 倍；同理，C(4)-C(5)＝0.234803，即利空消息對Rt序列的條件方差會造成0.234803 倍的沖擊。 擬合后的ARMA(1，1)-EARCH(1，1)模型其均值-方差方程分別為:

其中，ht為t期的預測方差項。 檢驗 ARMA(1，1) -EARCH(1，1)模型是否存在條件異方差性，結果顯示，在顯著性水平為1%時，ARMA(1，1)-EARCH(1，1)模型的殘差可以認為已經消除了異方差性，但效果并不顯著。

現比較兩個模型的評價標準，結果如表1 所示。

表1 模型評價標準的比較

比較表中的數據可知，兩組模型的評價標準值相差很小，但是 EGARCH(1，1)模型的 AIC、SC 和 HQC 值全部小于GARCH(1，1)模型對應的值，即相較 ARMA(1，1)-GARCH(1，1)來說，ARMA(1，1)-EGARCH(1，1)模型擬合得相對較好。 但 ARMA(1，1)-EGARCH(1，1)模型的異方差效應遠小于 ARMA(1，1)-GARCH(1，1)模型，故綜合考慮，ARMA(1，1)-GARCH(1，1)模型更適合對對數日收益率Rt序列進行擬合與分析。

三、 結論

基于以上實證分析，文章可以得出如下結論:①深證綜指對數日收益率具有波動聚集性。 其均值大于0 而接近于0，表明股票市場的投資回報率較低。 又偏度大于0，說明深證綜指對數日收益率分布是右拖尾的，說明我國深證股票市場已趨于相對成熟。 ②對深證綜指對數日收益率建立的ARMA(1，1)-GARCH(1，1)模型較好地消除了序列中的ARCH 效應。 ③基于GARCH 模型估計的方差方程中，ARCH項和GARCH 項的系數之和小于1 且接近于1，表明深證綜指的沖擊波動隨時間會衰減，但以后沖擊可能持續較多期。④綜合對比分析 ARMA(1，1)-GARCH(1，1)和 ARMA(1，1)-EGARCH(1，1)兩組模型，可以發掘出深證綜指對數日收益率的更多特征，且研究發現對深證綜指對數日收益率建立ARMA(1，1)-GARCH(1，1)模型效果更好。 ⑤深證綜指對數日收益率具有較明顯的負向非對稱性，即等額度的利空消息比利好消息對深證股市市場的沖擊更大。