基于不動點理論及其應用的研究

竇瑞

摘 ?要：本文主要針對不動點理論起源于方程論的研究，利用不動點分為代數型不動點，做了拓撲型不動點和混合型不動點。Banach壓縮映像原理，Schauder不動點定理（Brower不動點定理的推廣）及Krasnosel'skii不動點定理是最知名的不動點原理。首先在本科多個學科中Banach壓縮映像原理都有重要的應用，其次常微分方程中經典的Picard迭代法的經典表述，微積分中多元函數隱函數存在性理論，數值分析中高階線性方程組存在性理論等等，最后Schauder不動點定理在常微分方程理論微分方程解的一般存在性定理（Peano定理）的證明等等。

關鍵詞：壓縮型映像;Schauder不動點;Peano定理

引言

本文主要簡述了不動點理論的歷史背景和發展，重要的不動點理論的證明（Schauder不動點定理的不完全證明，一類特殊壓縮型映像不動點的存在/唯一性），闡述了畢氏條件與Peano條件下，結合Arzela-Ascoli定理，利用不動點原理解釋微分方程的解的存在性理論，并進一步實例利用Picard迭代序列（本質上是尋找不動點的迭代序列），逼近方程的唯一解，編寫Matlab程序數值實現。拓撲型不動點定理嚴格來說是不動點的存在性定理;而代數型不動點定理不僅建立不動點存在性條件，而且給出尋求不動點的具體方法。

1、不動點理論歷史背景

數學里到處要解方程，諸如代數方程、函數方程、微分方程，積分方程等等，尤其到近現代各個數學分支的不斷發展，方程種類繁多，形式各異。但是它們常能改寫成?（x）=x的形狀，這里x是某個適當的空間Χ中的點，?是從Χ到Χ的一個映射或運動，把每一點x移到點?（x）。方程?（x）=x的解恰好就是在?這個運動之下被留在原地不動的點，故稱不動點。于是，解方程的問題就化成了找不動點這個幾何問題。不動點理論研究不動點的有無、個數、性質與求法。

定義1：設X為一集合，映像，若存在使得，那么就稱是映像T的不動點。

定義1.1：設X為一集合，集值映像，若存在使得，那么就稱是集值映像T的不動點。

Banach壓縮映像原理，Schauder不動點定理（Brower不動點定理的推廣）及Krasnosel'skii不動點定理是最知名的不動點原理。在本科多個學科中Banach壓縮映像原理都有重要的應用，比如經典的Picard迭代法的經典表述，多元函數隱函數存在性理論等等。在很多實際問題中，壓縮映象的條件過強，就有了‘擴張‘非擴張‘平均非擴張映象等，隨著不同數學分支的發展，不動點理論逐漸豐富。

2、重要的不動點定理的證明

2.1 三個重要的不動點定理

（1）（Brouwer）拓撲不動點定理

Χ是中的緊凸集，那么Χ到自身的每個連續映射都至少有一個不動點。

Corollary

，（其中是閉球體），則

（2）（Banach）代數不動點定理

X是完備的度量空間，記是壓縮型映像，即滿足

則。

Corollary

存在唯一不動點，那么T也存在唯一不動點，并與之相同。顯然如果如果是壓縮映像，T自然存在唯一不動點，即

（3）（Kakutani）混合型不動點定理

設C是Rn中的緊凸集，f為從C到C的非空凸子集的上半連續的點-集映射，則至少存在一點x*，使得x*∈f（x*）。

2.2 ?Schauder不動點定理的不完全證明

Brower不動點定理是著名的拓撲型不動點定理，與他相關的還有有趣的hairy ball throrem（毛球定理）。它的證明大部分涉及到代數拓撲中基本群理論知識，在[3]中P286給出一個"2D Brower Fixed Point"的證明，當然有純分析甚至初等的證明，參見J.Milnor，Analytic proofs of the "hairy ball throrem"and the Brouwer fixed point theorem，Anar.Math.Monthly，Vol.85 No.T（1978），521-524，J.Franklin，Methods of Matlematical economics. p.232-246，Springer Verlag. 在本節利用Brower不動點定理來證明其推廣的Schauder定理-張恭慶老師的泛函分析講義。

Schauder[2]不動點定理：

設C是線性賦范空間X中的一個閉凸子集，若 連續且T（C）連續且T（C）列緊，則T在C上必有一個不動點。

證明之前，我們先做些準備。

（Def 2.2.1）[2，14]

設M是（X，d）中的一個子集，N包含于M，如果，那么稱N是M的-網。如果

① N是有窮集合（依賴于給定），那么稱N是M的有窮-網

②，都M都存在一個有窮-網，那么稱集合M完全有界。

（Th 2.2.1）

（Th 2.2.2）

設（X，d）是度量空間，且M包含于X，則

（注意在一般拓撲空間中緊—>閉）

Pro：

現在分三步來證明Schauder不動點定理（摘自張恭慶-泛函分析講義[2]）

① 因為T（C）是列緊集，所以對

（記）

② 作的映射如下：

因為

綜上可以得知元素的凸組合，從而，而且

（1）

（3）注意到 ，而C是凸的，所以co（Nn）包含于C，令

注意到是En 中的一個有界閉凸子集，那么由Brower不動點定理

（2）

又因為T（C）是列緊集而C是閉集，所以存在子列nk 及

（3）

聯合（1）和（2）得到：

（4）

結合T的連續性以及（3）和（4）可得到：

3、不動點應用實例

已知常微分方程初值問題如下：

其中f（x，y）在矩形區域R： ???是連續函數，且滿足如下條件中的一個，則方程在上有界，其中常數

①（Picard Th）f關于y滿足Lipschiz條件，此時解唯一;

②（Peano Th）f只需要滿足連續即可

（1）對于Picard 解唯一存在定理，常微分教材上都會有詳細的證明，從（Banach）不動點的觀點來解決就會顯得簡潔與深刻。

構造算子T如下：

只需要注意到：

結合具體條件，Banach不動點定理成立的條件滿足，問題就得到解決。

結論

不動點理論起源于方程論，同樣也豐富了方程求解理論。一般來講不動點分為代數型不動點，拓撲型不動點和混合型不動點。Banach壓縮映像原理，Schauder不動點定理（Brower不動點定理的推廣）及Krasnosel'skii不動點定理是最知名的不動點原理。在本科多個學科中Banach壓縮映像原理都有重要的應用，比如常微分方程中經典的Picard迭代法的經典表述，微積分中多元函數隱函數存在性理論，數值分析中高階線性方程組存在性理論等等，Schauder不動點定理在常微分方程理論微分方程解的一般存在性定理（Peano定理）的證明等等。

參考文獻

[1] ?陳汝棟. 不動點理論及應用[M]. 北京：國防工業出版社，2012.01;2～4頁

[2] ?張恭慶，林源渠. 泛函分析講義（上）[M]. 北京：北京大學出版社，2009.03