一道幾何題的多樣解題思路與延伸思考

陳希 陳彥軍

摘 ?要：本文從不同角度對一道平行四邊形的幾何題目進行了證明，并延伸思考，增加特定的題設，研究其結論。最后借助數學繪圖軟件，從函數角度去探究題目中幾何圖形面積之間的關系。

關鍵詞：數學，幾何題，多樣解題思路。

1 ?題目再現

這是我在學習《平行四邊形》內容時遇到的一道題目，原題如下：

題目：如圖1所示，分別以△ABC各邊作等邊三角形，分別為△ABD，△BCE，△ACF. 連接DF，EF。求證：四邊形BEFD是平行四邊形。

此題我的最初證法是：由AB=AD，AC=AF，∠DAF=∠CAB，證得△ADF≌△ABC，得到DF=BC=BE;同理，△FEC≌△ABC得到EF=AB=BD，根據“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”證得結論。

在經過思考之后，得到了下面兩種證明方法。

證法二：

由△ADF≌△ABC，得到DF=BC=BE，∠DFA=∠ACB，∠ABC=∠ADF，又∠DBA=∠EBC=60°，所以∠DBE=240°-∠ABC，所以∠FDB+∠DBE=∠ADF-60°+240°-∠ABC=180°，故DF∥BE，根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得結論。

證法三：由△ADF≌△ABC≌△FEC，得∠FDA=∠FEC，∠DFA=∠FCE。所以∠FDB=∠FEB，又∠DBE=240°-∠ABC，∠DFE=∠DFA+∠AFC+∠CFE=∠FCE+∠CFE+60°=180°-∠FEC+60°=240°-∠ABC=∠DBE，根據“兩組對角相等的四邊形是平行四邊形”證得結論。

2 ?延伸思考

2.1 ?已知條件合理與否

在借助GeoGebra軟件將題目中圖形繪制出來之后，固定A、C位置，拖動點B改變△ABC的形狀時，發現以點B、E、F、D為頂點有可能構不成四邊形。通過分析可知當點D、B、E共線時，即當∠ABC=60°時，BEDF構不成四邊形。原題的“已知條件”中應該增加一個條件，即“點D、B、E不共線”。

2.2 ?平行四邊形BEDF是特殊四邊形時的條件

（1）當平行四邊形BEDF是矩形時

當∠ABC=150°時，∠DBE=90°，平行四邊形BEDF是矩形。

（2）當平行四邊形BEDF是菱形時

當AB=BC時，BD=BE，平行四邊形BEDF是菱形。

（3）當平行四邊形BEDF是正方形時

由（1）（2）知，當AB=BC且∠ABC=150°時，平行四邊形BEDF是正方形。

2.3 三角形ABC的面積與四邊形BEFD面積的關系

記△ABC面積為S1，四邊形BEFD的面積為S2，AB=a，BC=b，∠ABC=x°，，探究y與x的函數關系式。

（1）函數解析式求解

由以上分析可知，若四邊形BEFD是平行四邊形，則∠ABC≠60°，分0°

①當0°

此時∠DBE=120°+x，∠BDF=60°-x。

則S1=ab·sinx，S2= ab·sin（60°-x），y=。

②當60

此時∠DBE=240°-x，∠BDF=x-60°，

則S1=ab·sinx，S2= ab·sin（x-60°），y=。

故y與x之間的函數關系式為：y=

（2）函數圖象及性質

借助GeoGebra軟件繪制出該分段函數的圖象，如圖3所示（將角度轉化為了弧度）。

從圖中可以看出：

當0°

參考文獻

[1] ?王耀. 一道解析幾何調研試題的解題思維分析與方法探究[J]. 考試：高考數學版，2013（2）：4-7.

[2] ?謝小平，楊祖華，許麗美. 一道平面幾何競賽題的解法展示與簡析——命題者思路與學生解題思路的差異[J]. 中學數學研究，2018，000（012）：49-50.