Kopel寡頭博弈模型的演化分析*

李 波,何啟志

(安徽財經大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030)

1 引 言

一般而言，市場結構可分為寡占、多寡頭以及完全競爭三種形式.目前常見的產業結構存在方式多為多寡頭形式，尤其是雙寡頭市場結構，比如飲料產業中的百事和可口、航空制造業的波音和空客等.大量的研究表明簡單預期假設下的企業競爭演化路徑具有相當高的復雜性，為了在公司管理層面進行競爭策略的優化，經濟學家在簡單預期假設基礎上提出了適應性預期，即通過對歷史產量進行加權平均得出當期的產量預期.進一步，假設處于競爭狀態的兩家企業總成本變化對彼此影響程度不對稱可以構造更符合人類決策行為特點的雙寡頭模型，這一模型更符合認知心理學相關領域對經濟實踐中企業競爭現象的研究成果.研究者借助于非線性動力系統理論考察均衡狀態下企業競爭行為的可能性，比如均衡點的周期性及其彼此之間的演化路徑等問題.比如Zhang和Gao(2019)[1]基于外推預測技術構造了非線性Cournot寡頭模型并發現弱預測技術下富有理性的調整機制意味著更傾向于收斂非對稱平衡點.常建偉等(2017)[2]研究了在企業環境行為監管中，利用演化博弈理論建立了一個帶有不同訴求的主體的動態模型，結果發現動態懲罰控制方法將有利于排污企業做出污染物處理的最優策略選擇.

當前利用非線性動力學理論和動態博弈研究寡頭競爭的模型主要集中在管理授權、預期假設和市場信息獲取及分析能力等方面.隨著職業經理人的出現，公司的所有權和管理權出現分離，此時公司發展的動力將不完全是利潤最大化.Wu和Ma(2015)[3]研究了部分私有化與交叉持股狀態下混合雙寡頭博弈情形下的復雜動力學行為，尤其是涉及管理授權中的委托代理理論.Gori等(2017)[4]構造了一類基于市場收益獎勵機制下產品差異化對于競爭狀態影響的Cournot寡頭競爭模型，研究表明一般均衡點可能會不存在，需要引入更復雜的均衡結構.通常假設公司可以獲知完全信息從而做出合理預期，顯然這在真實的經濟環境中是不可能存在的.即使公司能獲知完全信息，而要做出最優預期也需要有強大的分析和計算能力以及巨大的成本耗費.基于可變成本的信息，Ma和Ren(2018)[5]研究了兩階段決策的雙寡頭博弈的動力學性質，尤其是可變成本對寡頭競爭中主從關系這一競爭模式的影響.在理性預期選擇方面，Wei和Yu(2014)[6]研究了有界理性條件下雙寡頭模型的動力學行為，討論了均衡的存在性和穩定性問題，由此得到了周期倍增演化軌道和多均衡狀態.相關研究結果說明競爭者對產品總量的調整速度會影響均衡的穩定性，并且證明雙寡頭競爭者各自的預期對寡頭模型的動力學行為有重要影響.更多關于企業競爭策略選擇中預期管理方面的研究結果表明理性預期選擇并無簡單的好壞之分，具體情況與處于競爭狀態的其他企業預期選擇密切相關，兩者之間的策略互動情況將決定企業競爭行為的具體演化過程.Andaluz 和Jame(2016)[7]考慮了有界理性下Cournot-Bertrand類模型的動力學行為，尤其是研究了倍周期誘導出混沌這一現象.

離散Kopel雙寡頭模型是一類比較重要的寡頭壟斷模型.Canovas和Munoz(2018)[8]重點探究了系統在一維不變子集上的拓撲混沌行為，并通過拓撲熵和最大李雅普諾夫指數的計算進行了驗證.

這里將重點探究模型平衡點失穩情形下的動態性質，從而討論對稱Kopel雙寡頭模型的復雜動力學及其演化現象.首先借助穩定性理論給出穩定性分析的結果，其次通過構造(廣義)特征向量和伴隨特征向量計算臨界規范型及其對應的系數并在此基礎上討論1∶4共振的存在性與相關結果，最后借助數值模擬手段演示理論分析結果所蘊含的復雜的動力學性質.

2 Kopel雙寡頭模型及其穩定性

考慮式(1)所示的離散Kopel雙寡頭模型.

(1)

其中x,y分別為市場中兩個寡頭企業的產量，ρ,μ均為正常數，分別用來衡量市場上產量變化的權重和競爭對手產量變化對生產成本函數影響的程度.

注：模型(1)中所有變量均已做無量綱化處理.

具體而言，模型(1)中的兩個寡頭企業是基于有限信息做出產量調整的決策，其中產量調整是對自身產量和競爭對手產量的函數加權后求和的.這里采用非線性logistic函數估計競爭對手產量對自身的影響，更進一步的推導和解釋見Canovas和Munoz(2018)[8].

對于模型(1)，當參數(ρ,μ)變化時映射(1)的不動點的個數和穩定性都會發生變化.顯然平凡不動點(0,0)會一直存在，但該點因沒有經濟學意義而不被分析.

當μ≥3,映射(1)存在一組對稱不動點E1(x1,y1)和E2(x2,y2)，其中

關于以上不動點的穩定性分析可見文獻(Puu,2018).當映射(1)的不動點處的Jacobian矩陣特征值的模等于1時，映射(1)在不動點處可能出現叉式分支、flip分支、Neimark-Sacker分支這三類單參數分支.與此對應的將出現不動點的湮滅、倍周期、擬周期和混沌現象.在已有叉式分支、flip分支和Neimark-Sacker分支定性分析的基礎上研究雙參數分支中的1∶4共振分支.針對Neimark-Sacker分支退化情形進行分析，可以得到1∶1,1∶2,1∶3和1∶4共振四類情形.而1∶1,1∶2,1∶3共振三類情形過于平凡不予分析，1∶4共振發生時滿足的條件和其共振點鄰域內的復雜動力學性質成為重點分析的對象.

3 Neimark-Sacker分支分析及其廣義情形1∶4共振

第一步特征值分析給出分支存在的可能性

映射(1)在不動點E1(x1,y1)處的Jacobian矩陣為

映射(1)可以通過如下方式平移不動點到原點，(x,y)=(u+x1,v+y1)，此時映射(1)轉變為映射(2).

(u,v)T→Δ(x1,y1,ρ,μ)(u,v)T+H(u,v)，

(2)

其中H(u,v)=-ρμ(v2,u2)T.

第二步構造特征向量及其伴隨特征向量并在此基礎上求解其規范型

選取p,q∈2作為Δ(x1,y1,ρ,μ)的(廣義)特征向量和(廣義)伴隨特征向量.此時，可以對整個狀態空間進行特征子空間分解并計算一定條件下的臨界特征子空間及其臨界分支參數.在2空間，選取

其中

并且有

此時存在ω∈2,使得映射(2)在新坐標下可以表示為映射(3).

(3)

其中

第三步計算其臨界系數并論證1:4共振分支存在的條件

此時可以構造坐標變換零子化映射(3)中的部分二次項和三次項，最終系統可變為如下形式(這里仍用ω作為坐標變量)，

其中

以上分析說明映射(1)在不動點E1(x1,y1)處可能出現1∶4共振現象.

(1)對映射(1)的一組非平凡四周期不動點而言，存在一條fold分支曲線.當參數在分支曲線鄰域內變化時，不動點將消失或出現倍增的情形；

(2)映射(1)在情形(1)中的不動點處出現Neimark-Sacker分支.

4 數值模擬

基于有限信息下相似競爭行為假說的理論，使用MATLAB軟件對雙寡頭企業競爭行為進行仿真模擬，分別考慮三種競爭情形下的博弈結果及其相關演化性質.

圖1 固定時的分支圖

由圖2可知競爭對手企業的影響因素越大，雙方企業的動力學行為越傾向于復雜，其動力學由嚴格收斂于平衡點到收斂于固定軌道，直至最后處于混沌狀態.

圖2 映射(1)在ρ=1，μ∈[3.4,4]情形數組合下的相圖

圖3 固定時的分支圖

圖4 映射(1)在情形數組合下的相圖

圖6表明在一定參數條件下映射(1)存在一個內發散外收斂的不變閉軌道，并且隨著ρ的變化閉軌道破裂稱為11個具有類似性質的閉軌道，最后閉軌道全部破裂生成一個“靴子”形狀的混沌吸引子.

在討論以上三類動力學性質時都涉及了混沌現象.通過計算最大李雅普諾夫指數的方法進行驗證.圖7的三個指數圖分別為對應圖1、圖3和圖5的最大李雅普諾夫指數圖.

對比圖7和圖1、圖3和圖5可以發現三類動力學行為都存在穩定區域、準周期區域以及混沌區域.

圖5 固定時的分支圖

圖6 映射(1)在情形數組合下的相圖

圖7 最大李雅普諾夫指數圖

5 結 論

在已有Kopel模型的分支結果的基礎上對Neimark-Sacker分支的廣義情形1∶4共振問題開展了研究.研究結果表明，當(ρ,μ)滿足定理1所給條件時，Kopel模型將在一類非平凡不動點處出現1∶4共振現象.該現象的出現意味著fold分支、Neimark-Sacker分支及同宿軌道的出現.

數值分析說明一定程度上映射(1)的相圖可以做90°旋轉而不變，即出現4對稱，這也是1∶4共振所蘊含的特有性質之一.當ρ=0.95(<1)時，企業綜合考慮歷史產量對當期產量的預期并賦予自身歷史產量更大比重.當ρ=1時，即企業完全不考慮自身歷史產量所產生的影響，僅僅調整競爭對手對自身未來預期產生的影響程度.在這兩種情形下對于處于競爭中的兩個企業而言存在產量上的多重均衡點，但始終在一個可預測的軌道之中.甚至在一定參數區間內當任何一方企圖打破平衡時，均衡點也始終處于一個可預測的軌道之中.當ρ>1時，映射(1)出現了不同于此前的現象，即產量的不同調整方向趨向于同一類均衡狀態，出現同宿現象.此時意味著同時存在多個均衡狀態，企業競爭策略的調整僅僅在不同狀態之間轉移，競爭雙方極有可能呈現出事實上的共謀情形.此外，與初始狀態無關，映射(1)始終存在參數區間使雙方的競爭處于混沌狀態，這是一種不利于雙方企業獲取可能的最優利潤情形.