定積分在初等數學中的應用

馬紅晶

【摘要】定積分是大學數學的重要組成部分，在許多問題的解決方法中是必不可少的.在幾何學方面，定積分也有著廣泛的應用.也正是因為這些應用，才推動了積分學的不斷發展和完善.本文將在高等數學理論的基礎上，介紹用定積分表示具體問題的方法——微元法.另外，定積分在初等數學中也有著良好的運用.本文研究了如何用定積分推導一些初等數學中的面積與體積公式的問題.

【關鍵詞】定積分;面積;體積;幾何應用

一、問題的提出

在小學數學的學習中，圓的周長和面積公式就已經深深扎根于學生的心中.一直到初中乃至高中，學生直接使用這些公式來解題得到了很大的便利.那么圓的面積公式和周長公式到底是如何推導出來的呢？下面我們來用定積分的方法解決這個問題.

二、 微元法

我們來回顧一下如何將曲邊梯形的面積A表示為定積分，步驟如下.

經過這四個步驟的層層推導，我們就可以將所求“曲邊梯形面積A”表述成定積分的形式，由此即可以得到如何用定積分來表示所要求的量U，有以下三個步驟：

我們把這種方法稱作微元法，此方法被廣泛應用于許多問題中，給我們解決問題帶來了很多便利.

三、旋轉曲面的面積

設平面光滑曲線C的方程為

綜上所述，圓的面積公式和周長公式都可以用定積分進行推導，這擴展了我們的解題思路.

2.球的表面積公式和體積公式.

用定積分可以計算出旋轉曲面的面積和旋轉體的體積，這恰好可以在推導球的面積公式和體積公式中得到良好的運用.下面我們就來研究這個問題.

五、小結

理論與實際總是密切聯系、互相促進發展的，沒有無理論的實際，也沒有無實際的理論.高等數學知識不僅注重對其各項知識點的了解與掌握，更注重用這些理論知識來解決實際生活中遇到的種種具體問題.定積分是一種實用性非常強的數學方法，它的重點是將具體問題表示成定積分，這就需要靈活掌握定積分的意義與分析方法，這樣便可以將一些具體問題中的幾何問題變成有關定積分的計算問題，在這個過程中的轉化為我們解題提供了巨大的便利，同時也省去了很多復雜的過程，因此定積分在解決實際問題中得到很廣泛的應用.

本文圍繞著定積分在初等數學中的應用，給出了用定積分來解決在初等數學中所解決不了的問題，也提供了一種新的思維方式與解題方法，這既使得對高等數學知識與思想的掌握與理解更深一籌，也在初等數學和高等數學中架起了一道銜接的橋梁，充分體現了高等數學的優越性.

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