從“練”到“煉”的學習進階

丁愛平

摘要：小學數(shù)學練習課，需要引導學生經(jīng)歷從“練”到“煉”的學習進階。“練”突出的是知識技能的熟練掌握和實際應用，“煉”則更關(guān)注知識本質(zhì)的提煉、學習能力和思維方法的滲透、學習習慣的烙印。賁友林老師執(zhí)教的《有關(guān)分數(shù)、比的問題》練習課，注意“煉”素材：用極少素材生成豐富“題”材;“煉”思維：在關(guān)聯(lián)思考中促進本質(zhì)把握;“煉”習慣，在潛移默化中促進學力提升。

關(guān)鍵詞：練習課 學習素材 思維方法 學習習慣 《有關(guān)分數(shù)、比的問題》

《有關(guān)分數(shù)、比的問題》練習課，我以前也上過。當時的我，身處奮力提升六年級教學質(zhì)量的洪流之中，做了二十幾張PPT，幾乎淘盡了所有的教輔資料。課后，聽課教師的評價是“練習設計層層深入，涵蓋了所有的易錯點，學生練得非常充分，正確率很高”。

直到學習了賁友林老師上的課，我才發(fā)現(xiàn)自己對練習課“練”的理解過于淺表化——練習課的“練”還有更為深刻的內(nèi)涵，即引導學生經(jīng)歷從“練”到“煉”的學習進階。

所謂“煉”，《說文解字》中釋義：“鑠治金也。”即通過加熱使金石（金屬礦物）等物質(zhì)熔化從而變得純凈和堅韌。“練”和“煉”同為加工方法，“練”是水煮，而“煉”是火燒;“練”是熟能生巧，而“煉”是去蕪存精。回到小學數(shù)學練習課的語境中，“練”突出的是知識技能的熟練掌握和實際應用，“煉”則更關(guān)注知識本質(zhì)的提煉、學習能力的提升和思維方法的滲透、學習習慣的烙印。

接下來，讓我們聚焦賁老師的這節(jié)課，一起見證“煉”的教學歷程，從中領悟一些重要的策略和方法。

一、“煉”素材：用極少素材生成豐富“題”材

練習課練什么題，是教師們最關(guān)心的問題。賁老師用極少的素材生成了豐富的“題”材。整節(jié)課，賁老師只提供了兩道題。

第一道題是課上呈現(xiàn)的基本練習：

盡管賁老師布置了課前研究學習任務，不少學生已經(jīng)在學習單上做了較為深入的思考，但是，練習課最基本的教學目的不能丟，即通過一定量的習題練習鞏固重難點知識，并能熟練運用。這個基本練習是賁老師精心設計的：緊緊抓住“單位‘1”和“數(shù)量關(guān)系”這兩個關(guān)鍵要素，順勢引導學生由“分數(shù)”想到“比”，從“份數(shù)”的角度靈活地思考，為下面的學習交流打下扎實的基礎，為后續(xù)的分析問題激活思路“節(jié)點”。

第二道題是課前學習單（見圖1）上的第1題。

這是一道開放題，思維的空間非常大，不同層次的學生都能盡情發(fā)揮。課前，學生的學習單基本上都寫得滿滿當當?shù)摹Ｕn上，賁老師展示了4位學生的學習單，除了最后一位學生設計的一道題因為時間關(guān)系而留作課后思考，前面3位學生的學習單都得到了充分的交流探討。對比我曾經(jīng)設計的練習題，我發(fā)現(xiàn)，展示的學習單幾乎涵蓋了各種題型，解決分數(shù)和比的實際問題中的重難點、易錯點基本上都沒有疏漏。特別令人欣喜的是，在習題的呈現(xiàn)方式上，學生并不是一股腦兒地堆砌“好的”習題，而是經(jīng)過認真地篩選、精心地整理。很多學生編創(chuàng)的習題以題組的形式出現(xiàn)，體現(xiàn)出從“一道題”到“一類題”的結(jié)構(gòu)化思維。這是一種良好的數(shù)學思維習慣，與學生長期的實踐運用息息相關(guān)。

在編創(chuàng)習題的過程中，學生積極主動地喚醒已有的知識經(jīng)驗，不斷地去除次要的、表面的、形式化的東西，檢索出心目中最重要的東西，并渴望與老師、同學分享。這就是賁老師所倡導的“學為中心”課堂教學理念中所說的“有準備地學”的意蘊。

賁老師課前很少做PPT，對“煉”素材有著幾近嚴苛的備課習慣。他設計的學習單字數(shù)極少，但是留給學生獨立創(chuàng)造的空間特別大。而我上課，一不小心就會做很多張PPT。這給我很深的啟發(fā)：不管是練習課，還是其他課型，教師不要給得太多、太滿，應該還給學生學習的空間，讓學生學會自主思考：“我想練什么？”“我想怎么學？”……如此，我們的學生才能從“學會”走向“會學”。

二、“煉”思維：在關(guān)聯(lián)思考中促進本質(zhì)把握

學生帶著豐富多元的題目來到課堂，怎么開展練習？練習課，比練更重要的是“思”。“我們應當通過數(shù)學教學，讓學生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聰明，即應當努力促進學生思維的發(fā)展與理性精神的養(yǎng)成。”（鄭毓信）

賁老師沒有讓學生依次“晾曬”學習單，順次解答題目，而是以3份學習單為載體，引導學生緊緊圍繞多角度的對比練習，抓住知識本質(zhì)，展開縱橫交錯的關(guān)聯(lián)思考。學生深度卷入分析、質(zhì)疑、提煉和概括等學習歷程，砥礪其思維不斷進階。

本節(jié)課中的關(guān)聯(lián)思考主要有以下幾處，每一處都有無法預料的驚喜。

（一）對比習題，提高效率

課前學習單上有那么多學生自編的習題，課上教師不可能一網(wǎng)打盡。賁老師有意識地引導學生對比分析這些習題，打通它們之間的關(guān)聯(lián)，從而“以點帶面”，大大提高練習的效率。

第一位學生（沈辰諭）展示學習單（見下頁圖2，其中羅列了4組不同的條件，共12小題）后，賁老師只和學生重點交流了第一小題。

然后，賁老師做了很好的方向性引導，定下了對比練習的課堂基調(diào)——

師這樣，給你們一個挑戰(zhàn)：下面你們要介紹的哪道題和這一題可以做對比？

生（沈辰諭）我覺得是第二個條件中的第一個問題：小剛有y張，求小明的張數(shù)。這個問題與第一個問題可以比較一下。

（全班熱烈掌聲。）

師剛才沈辰諭說什么？

生（劉珩歆）他說，與第一個問題對應的是已知小剛的張數(shù)，求小明的張數(shù)。

師（在沈辰諭的這兩個問題下畫線）誰來比較一下？

生（沈辰諭，指著板書）我覺得這兩題，第一題要逆著想，要求小剛的張數(shù)，用除法;第二題要求小明的張數(shù)，用乘法，是順著想的。（全班掌聲。）

師（指關(guān)系式）剛才柯欣怡、沈辰諭都是圍繞這個關(guān)系式進行比較的。我想，如果把沈辰諭補充的這兩個條件中的問題都介紹一番，那需要很長的時間。請大家想一想：補充的這兩個條件中的其他問題，要不要再分析了？

生不要。

師為什么？

生第一個問題是后面問題的基礎。

師是的，沈辰諭在補充條件、問題時是很有順序的，第一個問題解決了，后面的兩個問題就接著都解決了。下面，我們繼續(xù)交流沈辰諭補充的第三個條件中的問題。

（二）關(guān)聯(lián)知識，拓寬思路

本節(jié)課的教學目標是引導學生進一步掌握有關(guān)分數(shù)乘、除法應用問題的分析方法，能從分數(shù)意義、比的角度靈活思考，正確解答。除了對比不同的題目，賁老師還引導學生關(guān)聯(lián)不同的知識，溝通分數(shù)和比的聯(lián)系，拓寬解題的思路，從分數(shù)解法的計算步驟到比方法的數(shù)學思考，促進學生的思維不斷進階。

（沈辰諭講完他補充的第三個條件中的第一個問題——）

生（顧博涵，同步板演）由“小明的畫片張數(shù)是小剛的2/5”可知，小明的畫片張數(shù)與小剛的畫片張數(shù)的比是2：5，他們一共有7份。一共有105張，105除以7，得到1份的，再乘2，得到小明的。

師具體得多少，不算了。不同的同學，有不同的想法。他們講完之后，大家要進行比較。

生（鐘曉源）我們可以拿這一題和前面兩題做對比。前面兩題都是告訴你一個人有多少，也就是一個人的份數(shù);而這一題告訴你的是兩個人一共有多少，也就是兩個人一共的份數(shù)。

（三）轉(zhuǎn)換模式，推進思維

當算術(shù)解法得到充分的交流后，學生的認知處于一種平衡狀態(tài)。賁老師繼續(xù)激發(fā)學生的認知沖突，推進學生的思維。

師這樣的方法，有些同學還有點暈。還有更簡單的方法。

（學生一下子有些不知所措。）

師（輕輕地）用方程來做。

生（恍然大悟）噢。

師剛才為什么還要補充方程解法呢？（學生通過交流，體會到不管是整數(shù)思路，還是分數(shù)思路，都是逆著想的，而用方程是順著題意想的，這樣更簡單。）

（四）進一步對比習題的編排特點

傳統(tǒng)的練習課上，“教師出題一學生做題一教師反饋一再出題一再做題一再反饋”是一個以追求高正確率為核心的閉環(huán)，幾乎看不到學生對習題相互關(guān)聯(lián)、編排結(jié)構(gòu)等方面的見解。有些教師認為，期末考試考什么，我們就練什么，刻苦訓練是最現(xiàn)實的。這種功利化的習題教學觀亟待轉(zhuǎn)變。高年級學生具有一定的知識和能力儲備，他們既是練習題的解答者，又可以是練習題的命題人和評審人。

本節(jié)課上，第二位學生（張惟天）展示學習單（見圖3）時，把自己按問題分成5大類的想法和第一位學生按條件分成4大類的想法進行對比。這時，學生已經(jīng)跳出習題的解答過程，站在習題編排結(jié)構(gòu)的高度，來俯瞰一道道習題。這是非常高級的關(guān)聯(lián)思維和整體思維。

課尾，賁老師又推薦了一位學生獨立設計的一道題（見圖5）。這道題用“比”的形式構(gòu)建了數(shù)量關(guān)系，新增的條件比較復雜，很有思維含量，吸引著學生靈活選用分數(shù)乘除法、比的知識、列方程等方法解決問題。

三、“煉”習慣，在潛移默化中促進學力提升

良好的學習習慣是學生獲得學業(yè)發(fā)展、學力提升的核心力量。聽過賁老師課的教師都無比羨慕他的學生：實在是太厲害了，數(shù)學學習習慣非常好，卷入思考的速度快、互動交流的程度深、批判創(chuàng)新的角度多。那么，他的學生是怎么“久煉成鋼”的呢？讓我們通過這節(jié)練習課做初步的分析。

（一）建設“負責任、有效益”的小組交流

當下的很多課堂中，學生的小組交流浮于表面：每個學生讀一遍自己的學習單，一圈轉(zhuǎn)下來就結(jié)束了。小組交流要負責任、有效益。

賁老師在學生小組交流之前，鄭重提出要求：“請大家拿出課前做的材料，注意交流：我補充時，是怎樣想的？稍后向全班匯報時，我們小組能否有序地匯報？這里所說的有序，是指問題由簡單到復雜、由容易到困難。這是第一點。第二點，我之前看過，有些同學還有一些錯誤，那小組交流的時候，要看看自己是不是有錯。如果有錯，要在小組里糾正一下;如果你覺得這個錯很典型，可以放到全班交流。”這樣的要求聚焦有序思考和錯題反思這兩點，使得學生的小組交流更負責任、更有實效。

課堂上，學生小組交流用時近5分鐘，組內(nèi)學生彼此尊重、有序表達，互相碰撞、互相啟發(fā)，培養(yǎng)了良好的合作交流習慣。有質(zhì)量的小組交流所產(chǎn)生的思維成果將成為下一步全班交流的基礎。

（二）開展“全卷入、深推進”的課堂互動

學生良好的學習習慣不是封閉的、靜止的，而應該與數(shù)學、與同伴、與自己建立深度互動。首先是在知識之間尋找聯(lián)結(jié)。學生需要在開闊的視野里看到知識之間的關(guān)聯(lián)，使得頭腦里不再是孤立的、碎片化的知識，而是擁有整體性結(jié)構(gòu)的思維。賁老師說，教師要幫助學生把所學的知識裝上“鉤子”，將知識建立聯(lián)系。比如，本節(jié)練習課，賁老師組織學生溝通分數(shù)與比的聯(lián)系，關(guān)注算術(shù)解法與方程解法的靈活選擇等。久而久之，學生會慢慢建立起結(jié)構(gòu)化的思維習慣。

深度互動還體現(xiàn)在學生個體與學習同伴之間，比如師生互動、生生互動。在互動交流的過程中，教師要引導學生既關(guān)注自己的想法，又關(guān)注他人的想法，進一步地，關(guān)注自己想法和他人想法之間的聯(lián)系。賁老師喜歡抽簽選擇學生到講臺前面，以此組織全班的交流。學生隨時可以到講臺前面參與講解，隨時可以做出補充，臺上臺下的每一個人都全身心卷入，把自己的想法和他人的觀點建立聯(lián)結(jié)。因此，賁老師說：“我雖然在課前深入閱讀過每一個學生的學習單，但是永遠不知道課堂上下一分鐘會發(fā)生什么。”

此外，還有一種隱秘的互動是學生與自我的互動，在自我調(diào)節(jié)中學習。例如，通過“我會傾聽”“我要表達”“我有質(zhì)疑”“我回頭看”“我為什么錯了”等積極的提示開展學習的反思與調(diào)整。與自我互動，有利于培養(yǎng)反省性思維，極大地促進數(shù)學學習能力的提升。

（三）烙印“尊重每一個”的學習痕跡

對于學習單上的開放題，全班學生呈現(xiàn)出參差不齊的思維水平。例如，有的學生對同學的問題改編十分欣賞;而有的學生則保持理性審視的態(tài)度，考慮改編問題的合理性。對此，賁老師尊重差異，包容不同學生的不同思維水平。

課堂上還有一個細節(jié)。學生小組交流完畢后，每一個小組都迫不及待地想到講臺前面與全班分享。賁老師像平時那樣，提議通過抽簽選擇分享的小組。那么，由誰來抽簽呢？這次，賁老師沒有自己來，而是邀請柯欣怡來抽簽，并做出說明：“邀請柯欣怡，是因為之前她的補充發(fā)言，讓我們發(fā)現(xiàn)她聽得特別仔細。”合情合理、有根有據(jù)的話語，在潛移默化中滲透了關(guān)于傾聽學習習慣的培養(yǎng)，讓每一個學生看到了老師對他們的尊重和欣賞。