多個(gè)局部溫度載荷下壓電半導(dǎo)體纖維桿的壓電電子學(xué)行為分析1)

程若然 張春利,?,2)

*(浙江大學(xué)工程力學(xué)系,杭州 310027)

?(浙江省軟體機(jī)器人與智能器件研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310027)

引言

第三代半導(dǎo)體是兼具壓電性和半導(dǎo)體雙重物理屬性的壓電半導(dǎo)體材料,在未來(lái)信息、能源、國(guó)防和航空航天等領(lǐng)域有巨大應(yīng)用前景.事實(shí)上,早在20世紀(jì)60 年代就有學(xué)者嘗試?yán)脡弘姲雽?dǎo)體的聲電效應(yīng)實(shí)現(xiàn)聲波器件[1].然而,由于早期合成的壓電半導(dǎo)體材料的壓電效應(yīng)非常微弱,這限制了其在實(shí)際工程中的應(yīng)用.近年來(lái),以氧化鋅(ZnO) 納米結(jié)構(gòu)[2-4]等為代表的具有較大壓電效應(yīng)的壓電半導(dǎo)體被成功制備,弓起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,已被用于納米發(fā)電機(jī)[5-7]、聲電荷輸運(yùn)器件[8]、場(chǎng)效應(yīng)晶體管[9-10]和應(yīng)變/氣體/濕度傳感器等[2,11]功能器件上.近年來(lái),關(guān)于壓電半導(dǎo)體的研究主要集中在:通過(guò)施加外力,利用壓電效應(yīng)產(chǎn)生的壓電勢(shì)對(duì)肖特基結(jié)和PN 結(jié)結(jié)區(qū)載流子的輸運(yùn)、產(chǎn)生、分離和復(fù)合等半導(dǎo)體特性的調(diào)節(jié)與控制上,由此形成了壓電電子學(xué)和壓電光電子學(xué)[12-13]兩個(gè)嶄新的研究領(lǐng)域.

開(kāi)展壓電半導(dǎo)體多場(chǎng)耦合力學(xué)行為方面的理論研究,可為利用壓電電子/光電子學(xué)效應(yīng)提升半導(dǎo)體器件性能或開(kāi)發(fā)新型半導(dǎo)體器件[14]提供重要理論指導(dǎo).在已有的理論研究中,大多數(shù)工作僅考慮壓電效應(yīng),研究機(jī)械載荷對(duì)壓電半導(dǎo)體內(nèi)多場(chǎng)耦合行為的影響[15-28].例如,Zhang 等[16-17]利用線性化方法理論研究了壓電半導(dǎo)體纖維桿內(nèi)機(jī)械載荷對(duì)壓電電子學(xué)效應(yīng)以及機(jī)電場(chǎng)的影響.事實(shí)上,除了壓電性外,絕大多數(shù)壓電半導(dǎo)體材料還具有熱釋電性、熱彈性、熱電效應(yīng)等與溫度有關(guān)的耦合效應(yīng)[29];因此,溫度的改變必會(huì)使其產(chǎn)生極化電勢(shì).無(wú)論是考慮消除熱效應(yīng)(如電子器件散熱、熱疲勞、熱應(yīng)力造成結(jié)構(gòu)強(qiáng)度問(wèn)題等)對(duì)器件性能的影響,還是主動(dòng)利用溫度改變產(chǎn)生的極化電勢(shì)開(kāi)發(fā)與溫度相關(guān)的新型半導(dǎo)體器件,理論研究溫度對(duì)壓電半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的多場(chǎng)耦合力學(xué)行為的影響都是非常亟需的.最近,Cheng 等[30-31]同時(shí)考慮熱彈性、熱釋電性和壓電效應(yīng),理論研究了均勻溫度改變對(duì)一維壓電半導(dǎo)體桿及一維壓電半導(dǎo)體復(fù)合結(jié)構(gòu)內(nèi)部機(jī)電場(chǎng)的影響,結(jié)果表明了利用溫度改變調(diào)控壓電電子學(xué)效應(yīng)的可能性;隨后,Cheng 等[32]通過(guò)對(duì)n 型壓電半導(dǎo)體纖維施加一個(gè)局部均勻溫度載荷,發(fā)現(xiàn)在其內(nèi)部產(chǎn)生局部勢(shì)壘和勢(shì)阱––它們阻礙載流子的定向運(yùn)動(dòng),出現(xiàn)了類似PN 結(jié)單向?qū)ɑ蜷_(kāi)關(guān)的性質(zhì).可以想象:如果施加多個(gè)局部溫度載荷,則會(huì)形成多個(gè)局部勢(shì)壘和勢(shì)阱,施加的局部溫度載荷的大小和載荷之間的距離的選擇會(huì)使內(nèi)部呈現(xiàn)出豐富多樣的多場(chǎng)耦合行為.然而,文獻(xiàn)[32]中單個(gè)局部溫度載荷的工作不適用于此種情況.因此,我們進(jìn)一步研究具有代表性的兩個(gè)局部溫度載荷作用下壓電半導(dǎo)體纖維桿的多場(chǎng)耦合力學(xué)行為.

1 熱壓電半導(dǎo)體纖維桿的一維方程

在此前的工作[30-32]中導(dǎo)出的熱壓電半導(dǎo)體纖維桿的一維方程仍然適用,其詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程在這里不再贅述,僅列出與本文相關(guān)的方程.考慮如圖1 所示的一根均勻摻雜的具有6 mm 對(duì)稱性的壓電半導(dǎo)體細(xì)長(zhǎng)桿,其極化方向沿著軸向x3.

圖1 壓電半導(dǎo)體纖維桿示意圖(6 mm)Fig.1 A piezoelectric semiconductor fiber of crystals of class(6 mm)

在初始參考溫度Θ0下,壓電半導(dǎo)體內(nèi)部的施主和受主密度分別為和空穴和電子密度分別為p0=和n0=當(dāng)結(jié)構(gòu)受到一個(gè)均勻溫度變化θ=Θ-Θ0到達(dá)溫度Θ 時(shí),其內(nèi)部空穴和電子密度可寫為

其中,Δp和Δn是壓電半導(dǎo)體受到均勻溫度變化后,空穴和電子密度的增量.運(yùn)動(dòng)平衡方程、靜電高斯方程、空穴和電子的電荷守恒方程分別為[32]

注意,在式(4)中對(duì)于載流子密度增量很小(即Δn＜＜n0和Δp＜＜p0)的情況作了線性化處理.S33和E3分別為軸向應(yīng)變與電場(chǎng)強(qiáng)度,它們是

式(3)中的等效材料常數(shù)為

其中,kB為玻爾茲曼常數(shù),將式(3)～式(5)代入式(2)中可得到4 個(gè)關(guān)于u3,φ,Δp,Δn的二階常微分方程.根據(jù)式(4)中是否使用線性化,這4 個(gè)常微分方程可以是線性的或非線性的.

2 多個(gè)局部溫度作用下的壓電半導(dǎo)體桿內(nèi)的多場(chǎng)耦合行為

考慮如圖2 所示的一根n 型摻雜的無(wú)限長(zhǎng)氧化鋅壓電半導(dǎo)體桿,在無(wú)限遠(yuǎn)端為電學(xué)開(kāi)路條件,白色區(qū)域表示該區(qū)域溫度為參考溫度Θ0,綠色區(qū)域表示該區(qū)域發(fā)生了相對(duì)溫度改變.當(dāng)桿在如圖2(a) 所示的2m個(gè)不相鄰區(qū)域(長(zhǎng)度范圍為ai,i=1,2,···,2m),有局部的均勻溫度改變?chǔ)萯,桿內(nèi)會(huì)產(chǎn)生軸向變形.為得到問(wèn)題的解析解,用方程(4)中線性化的電流模型(注意:線性化方法只適用于小的溫度改變情況).在2m個(gè)局部溫度載荷作用下,結(jié)構(gòu)可分為4m+1 個(gè)求解區(qū)域,數(shù)學(xué)上很容易由式(2)中的控制方程和式(3)與式(4)的線性本構(gòu)方程求出問(wèn)題的解.對(duì)應(yīng)第i個(gè)區(qū)域內(nèi)的電子密度增量Δni,電勢(shì)φi和位移u3i有如下形式的通解

其中,Ci1,Ci2,···,Ci6為待定系數(shù).由邊界條件、界面連續(xù)條件以及選取零電勢(shì)點(diǎn)和為消除剛體位移而選取零位移點(diǎn)即可確定所有待定系數(shù),這樣就得到了多個(gè)局部溫度載荷作用下的解析解.軸向極化強(qiáng)度和極化電荷密度的表達(dá)式可由下式導(dǎo)出

下面以如圖2(b)所示的2 個(gè)局部溫度載荷作用的情況為例,這時(shí)共有5 個(gè)求解區(qū)域(x＜-l1,-l1＜x＜-b,|x| ＜b,b＜x＜l2和l2＜x,其中l(wèi)1=b+a1,l2=b+a2),邊界條件和界面連續(xù)條件是

圖2 壓電半導(dǎo)體桿受局部溫度載荷作用示意圖Fig.2 A piezoelectric semiconductor fiber under local temperature changes

此外,我們選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處作為零位移和零電勢(shì)的參考點(diǎn),即

由上述邊界條件及界面連續(xù)條件(10)～(15)以及(16),可求出5 個(gè)區(qū)域內(nèi)各物理量的解析表達(dá)式.對(duì)于a1≠a2,θ1≠θ2的情況,各物理場(chǎng)的解的表達(dá)式比較繁瑣,這里僅給出a1=a2=a、且左邊為升溫θ、右邊為降溫θ 的特殊情況下的各物理場(chǎng).在(x＜-l1)區(qū)域

在升溫區(qū)域(-l1＜x＜-b)

在中間區(qū)域(-b＜x＜b)

在降溫區(qū)域(b＜x＜l2)

在區(qū)域(x＞l2)

3 數(shù)值算例與討論

本節(jié)首先使用上節(jié)得到的各個(gè)區(qū)域物理場(chǎng)的解析表達(dá)式,數(shù)值研究溫度變化的大小對(duì)各個(gè)機(jī)電場(chǎng)的影響.然后,再用未作線性化處理的本構(gòu)方程(4)在有限元軟件COMSOL 中進(jìn)行模擬計(jì)算,研究在溫度變化稍大的情況下,兩個(gè)局部溫度變化對(duì)壓電半導(dǎo)體纖維桿的機(jī)電場(chǎng)及相應(yīng)電學(xué)響應(yīng)的影響.作為數(shù)值算例,我們以均勻摻雜的n 型氧化鋅(ZnO) 半導(dǎo)體材料為例,初始載流子密度為n0=1020m-3,其彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)取自于文獻(xiàn)[33],熱釋電系數(shù)取自于文獻(xiàn)[34],熱膨脹系數(shù)取自于文獻(xiàn)[35],載流子遷移率取自于文獻(xiàn)[36],溫度載荷作用位置為a1=a2=b=0.6 μm,溫度變化量為θ=θ1=-θ2=0.05,0.1 和0.3 K (θ1與θ2分別為升溫區(qū)域a1與降溫區(qū)域a2的溫度變化大小).

圖3 給出了在不同溫度改變下壓電半導(dǎo)體桿中各物理量(電勢(shì)、電位移、電極化、有效極化電荷密度、電子密度增量和總電荷密度)的分布情況.可以看到隨著溫度改變量的增大,各個(gè)物理場(chǎng)的變化也隨之增大.如果該結(jié)構(gòu)是純壓電材材料,那么各個(gè)物理場(chǎng)的分布會(huì)比較簡(jiǎn)單,但由于壓電半導(dǎo)體內(nèi)載流子的屏蔽效應(yīng)影響,各個(gè)物理場(chǎng)會(huì)受到載流子重分布的影響而變得復(fù)雜.圖3(e) 是結(jié)構(gòu)中增量電子密度的分布情況,表明了由于溫度變化弓起的熱釋電效應(yīng)、熱彈性與壓電效應(yīng)的耦合對(duì)壓電電子學(xué)效應(yīng)的影響.需要注意的是,由于模型中溫度在界面x=l1,x=l2和x=±b處不連續(xù),造成了界面處有極化電荷的存在,使得極化強(qiáng)度P3在界面上不連續(xù)(如圖3(c)所示).文獻(xiàn)[32]的結(jié)果表明,一個(gè)局部的溫度變化使桿中產(chǎn)生一個(gè)局部勢(shì)壘和一個(gè)局部勢(shì)阱,從而阻礙壓電半導(dǎo)體內(nèi)載流子在外加電壓下的定向移動(dòng),給出了一種調(diào)控壓電半導(dǎo)體內(nèi)電荷運(yùn)動(dòng)的方法.在這里,升溫和降溫的兩個(gè)局部溫度變化使壓電半導(dǎo)體桿體內(nèi)產(chǎn)生了一個(gè)較大的勢(shì)阱和分布在其兩邊的兩個(gè)較小勢(shì)壘(如圖3(a)所示),它具有類量子阱的特征.可以看到勢(shì)壘和勢(shì)阱對(duì)溫度的變化非常敏感,隨著溫度變化量的增大,勢(shì)壘和勢(shì)阱也隨之變大.需要指出的是:由于圖3(a) 中給出的電勢(shì)分布是線性化的解,勢(shì)壘勢(shì)阱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

當(dāng)溫度變化量較大時(shí),上述線性化的解不再適用.這里使用本構(gòu)方程(4)中的非線性電流模型,在COMSOL 的PDE 模塊中對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算.實(shí)際建模過(guò)程要求結(jié)構(gòu)是有限長(zhǎng)度的,這里取桿長(zhǎng)2L=8.4 μm.初始載流子密度取為n0=1020m-3,溫度改變量θ=θ1=-θ2=1,5,10 K.我們主要關(guān)心由兩個(gè)局部溫度變化形成的勢(shì)壘和勢(shì)阱.圖4 是電勢(shì)在桿內(nèi)的分布情況,與圖3(a)比較可以看到:隨著溫度變化量的增大,基于非線性和線性電流模型的計(jì)算結(jié)果的差別也越來(lái)越大.圖4 顯示隨著溫度變化量的增加,勢(shì)阱的深度逐漸變深,這使得驅(qū)動(dòng)電子定向運(yùn)動(dòng)“躍出”勢(shì)阱所需的偏壓增大;而兩邊的勢(shì)壘高度變化則相對(duì)不明顯.

圖3 溫度改變下各機(jī)電場(chǎng)(a)電勢(shì)φ;(b)電位移D3;(c)電極化P3;(d)有效極化電荷密度ρP;(e)電子密度增量Δn;(f)總電荷密度Fig.3 Distributions of(a)electric potential φ;(b)electric displacement D3;(c)polarization P3;(d)effective polarization charge density ρP;(e)electron concentration variation Δn;and(f)total charge for different temperature changes

圖3 溫度改變下各機(jī)電場(chǎng)(a)電勢(shì)φ;(b)電位移D3;(c)電極化P3;(d)有效極化電荷密度ρP;(e)電子密度增量Δn;(f)總電荷密度(續(xù))Fig.3 Distributions of(a)electric potential φ;(b)electric displacement D3;(c)polarization P3;(d)effective polarization charge density ρP;(e)electron concentration variation Δn;and(f)total charge for different temperature changes(continued)

圖4 較大溫度變化下壓電半導(dǎo)體內(nèi)電勢(shì)φ 分布Fig.4 Distributions of electric potential φ under larger temperature changes

另外,伏安特性曲線是壓電半導(dǎo)體器件的一個(gè)重要參數(shù).下面,我們?cè)贑OMSOL 中使用非線性的電流本構(gòu)模型對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行模擬計(jì)算.同樣,考慮一根長(zhǎng)為2L=8.4 μm,初始載流子密度為n0=1020m-3,a1=a2=a=b=0.6 μm 的氧化鋅壓電半導(dǎo)體桿.桿的兩端受到大小為2V的偏壓,電學(xué)邊界條件如下

從圖5(a)的I–V曲線中可以看到,當(dāng)升溫區(qū)域a1與降溫區(qū)域a2的溫度改變量相同時(shí),即θ=θ1=-θ2=10,15,20 K,由溫度改變形成的勢(shì)壘/勢(shì)阱阻礙了電子在外加偏壓下的定向運(yùn)動(dòng).例如,當(dāng)θ=20 K 的曲線中,外加偏壓較小時(shí)(偏壓小于2.5 V),電子無(wú)法通過(guò)由溫度變化形成的勢(shì)壘/勢(shì)阱區(qū)域而不能在電路中自由流通;只有當(dāng)外加偏壓足夠大時(shí),電子在外加偏壓驅(qū)動(dòng)下才能定向移動(dòng)形成電流,使電路導(dǎo)通.這與文獻(xiàn)[32] 中單個(gè)局部溫度變化的結(jié)果類似,但需要指出:文獻(xiàn)[32] 中由局部溫度改變產(chǎn)生的勢(shì)壘和勢(shì)阱并不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以其能克服勢(shì)壘/勢(shì)阱使電路導(dǎo)通的正向偏壓與反向偏壓大小并不相同,相應(yīng)的I–V曲線也不關(guān)于原點(diǎn)反對(duì)稱;而由升溫和降溫兩個(gè)區(qū)域形成的勢(shì)壘和勢(shì)阱,在控制溫度變化區(qū)域范圍相同(a1=a2=a)和溫度改變也相同(θ=θ1=-θ2)的條件下,勢(shì)壘和勢(shì)阱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,為克服勢(shì)壘和勢(shì)阱作用而施加的正向和反向偏壓大小相同,這使得其I–V曲線關(guān)于原點(diǎn)反對(duì)稱.從圖5(b)中可以看到,保持上述各條件不變以及θ=10 K,僅減小溫度載荷作用區(qū)域的范圍(如由a=0.6 μm 變化到a=0.4 μm和a=0.2 μm),其I–V曲線依然關(guān)于原點(diǎn)反對(duì)稱,且在相同條件下,溫度變化區(qū)域的范圍越大,形成的勢(shì)壘和勢(shì)阱就越大,使得在同樣外加偏壓情況下能通過(guò)的電子變少、電流減小.

圖5 壓電半導(dǎo)體纖維桿的電學(xué)響應(yīng)(a)不同溫度變化下的I–V 曲線;(b)溫度變化區(qū)域大小變化下的I–V 曲線Fig.5 Electrical behavior of piezoelectric semiconductor fiber(a)I–V cures for different temperature changes;(b)I–V cures for different length of a

更為有意義的是:通過(guò)合理確定壓電半導(dǎo)體纖維桿受熱載的區(qū)域和大小,人為地打破勢(shì)壘和勢(shì)阱關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性,可以開(kāi)發(fā)具有任意正向與反向?qū)ㄆ珘嚎删庉嫷碾娮悠骷?圖6(a) 是兩個(gè)局部溫度變化區(qū)域范圍相同(a1=a2=0.6 μm),但溫度變化大小不同時(shí)的I–V曲線.由圖可知:對(duì)于θ1=10 K 和θ2=-20 K 的情況,由于升溫和降溫區(qū)溫度變化量不同,打破了I–V曲線的反對(duì)稱性,其正向偏壓內(nèi)的I–V曲線接近于θ1=10 K,θ2=-10 K 情況下的I–V曲線;其反向偏壓內(nèi)的I–V曲線則接近于θ1=20 K,θ2=-20 K 情況下的I–V曲線.這是因?yàn)橥饧诱蚱珘簳r(shí),為使電路導(dǎo)通,需要克服主要由升溫區(qū)域(θ1=10 K)產(chǎn)生的勢(shì)阱;當(dāng)外加反向偏壓時(shí),為使電路導(dǎo)通,需要克服主要由降溫區(qū)域(θ2=-20 K)產(chǎn)生的勢(shì)阱.圖6(b)是保持升溫和降溫區(qū)溫度變化大小(θ1=-θ2=θ)不變、兩個(gè)溫度變化區(qū)域范圍不同(a1=0.6 μm,a2=0.2 μm)情況下的I–V曲線.可以看到:溫度載荷作用區(qū)域的空間不對(duì)稱性,也打破了I–V曲線關(guān)于原點(diǎn)的反對(duì)稱性.當(dāng)勢(shì)壘或勢(shì)阱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),對(duì)于正負(fù)兩個(gè)方向來(lái)說(shuō),使載流子克服勢(shì)壘/勢(shì)阱作用在電路中流通所需的偏壓大小相同,此時(shí)壓電半導(dǎo)體類似于一個(gè)正向和負(fù)向?qū)妷捍笮∠嗤臏孛糸_(kāi)關(guān).但人為地打破勢(shì)壘和勢(shì)阱關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性,可使正負(fù)兩個(gè)方向的導(dǎo)通電壓不再相同,此時(shí)壓電半導(dǎo)體將類似于一個(gè)二極管.因此,可以通過(guò)設(shè)計(jì)熱載荷的大小和作用空間位置,開(kāi)發(fā)具有任意導(dǎo)通/擊穿電壓特性的類二極管溫敏電子器件.

圖6 壓電半導(dǎo)體纖維桿的電學(xué)響應(yīng)(a)升溫與降溫溫區(qū)域溫度改變不再相同下的I–V 曲線;(b)降溫區(qū)域范圍a2 變化下的I–V 曲線Fig.6 Electrical behavior of piezoelectric semiconductor fiber(a)I–V cures for different θ1 and-θ2;(b)I–V cures for different length of a2

4 結(jié)論

本文建立了壓電半導(dǎo)體桿在多個(gè)局部溫度載荷作用下的一維線性耦合力學(xué)模型.壓電半導(dǎo)體纖維桿在一個(gè)區(qū)域降溫而在另一個(gè)區(qū)域升溫的情況下,兩個(gè)局部溫度改變對(duì)半導(dǎo)體桿內(nèi)各物理量有顯著影響;在壓電半導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生了兩個(gè)局部勢(shì)壘和一個(gè)局部勢(shì)阱,它使得部分載流子須在特定外加偏壓下才能越過(guò)勢(shì)壘或者跳出勢(shì)阱進(jìn)行定向移動(dòng).勢(shì)壘和勢(shì)阱的大小取決于溫度的改變量,它決定了載流子在半導(dǎo)體內(nèi)部的輸運(yùn)特性.兩局部溫度載荷作用的空間位置和大小的不同,均會(huì)打破其I–V曲線關(guān)于原點(diǎn)的反對(duì)稱性.因此,可以實(shí)現(xiàn)基于壓電半導(dǎo)體桿結(jié)構(gòu)的溫敏性電學(xué)開(kāi)關(guān)功能.本文研究結(jié)果為溫敏型壓電半導(dǎo)體電子學(xué)器件的開(kāi)發(fā)與設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo).