指向“四個(gè)理解”的冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)研究*

天津師范大學(xué)教育學(xué)部 (300387) 洪 夢(mèng) 吳立寶

章建躍先生指出的“四個(gè)理解”水平是教師專業(yè)水平和育人能力的集中體現(xiàn)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效益的決定性因素，也是有效地提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必備條件[1].可以看出，基于“四個(gè)理解”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)是必要的，也是可行的.對(duì)比人民教育出版社2019年版和2004年版高中數(shù)學(xué)教科書(A版)發(fā)現(xiàn)：冪函數(shù)從之前的《基本初等函數(shù)》中拿出且提前放到《函數(shù)的概念和性質(zhì)》章節(jié)中，地位以及重視程度明顯比原來提升了.基于此，本文就如何基于“四個(gè)理解”進(jìn)行冪函數(shù)教學(xué)？研究進(jìn)行指向“四個(gè)理解”的冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)，解決冪函數(shù)課堂教學(xué)“教什么”和“怎樣教”兩個(gè)問題[2]，以供教師借鑒.

一、理解數(shù)學(xué)，明確教學(xué)重點(diǎn)

“理解數(shù)學(xué)，明確教學(xué)重點(diǎn)”是冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的首要任務(wù).面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)模型由數(shù)學(xué)知識(shí)組塊和學(xué)科教學(xué)知識(shí)組塊組成，而在數(shù)學(xué)知識(shí)組塊中教師對(duì)于數(shù)學(xué)的理解是關(guān)鍵[3].理解數(shù)學(xué)，是要把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，特別是要深入理解內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法[1].教師要從一般觀念下把握數(shù)學(xué)研究對(duì)象、內(nèi)容、路徑和方法，追求數(shù)學(xué)的整體性和方法的普適性.通過內(nèi)容的分析，把握冪函數(shù)的本質(zhì)，明確教學(xué)重點(diǎn)，思考初步的教學(xué)方向.

1．內(nèi)容分析，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

教師要從學(xué)科知識(shí)等視角分析教材，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)[4].《冪函數(shù)》選自2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊(cè)第三章第三節(jié)，是本章前兩節(jié)《函數(shù)的概念及其表示》和《函數(shù)的基本性質(zhì)》的延續(xù)、拓展和應(yīng)用，也是后一節(jié)《函數(shù)的應(yīng)用(一)》的基礎(chǔ)，更是下一章研究《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》的示范，可以說本節(jié)課是前后數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接，在高中函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中具有承前啟后的功能.

冪函數(shù)是一類最基本的、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)[5].一方面，冪函數(shù)的基本體現(xiàn)在函數(shù)研究的內(nèi)容、思路和方法.在冪函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究過程中，蘊(yùn)含著研究一類函數(shù)的基本內(nèi)容；從研究函數(shù)的定義到研究函數(shù)的表示，再到研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，最后到應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題，即定義、表示——圖象與性質(zhì)——應(yīng)用的基本思路[6]；以及從代數(shù)運(yùn)算和圖象直觀相結(jié)合的方式來研究函數(shù)的基本方法.另一方面，應(yīng)用的廣泛性既是數(shù)學(xué)的基本特征之一，也是冪函數(shù)的功能作用之一，即冪函數(shù)是解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的函數(shù)模型的構(gòu)成要素.冪函數(shù)的內(nèi)容中還蘊(yùn)含著由特殊到一般、類比與歸納、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.

2．明確重點(diǎn)，思考教學(xué)方向

關(guān)于冪函數(shù)的定義和表示，教師可選擇概念形成的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式[7]，即創(chuàng)設(shè)問題情境，提供概念例證，引導(dǎo)學(xué)生首先從情境中抽象出函數(shù)的解析式；其次抽象、概括出本質(zhì)特點(diǎn)，即具有冪的形式、以冪的底數(shù)為自變量、冪的指數(shù)是常數(shù)；然后初步形成冪函數(shù)的概念；最后通過例題等進(jìn)一步深化和運(yùn)用.經(jīng)歷冪函數(shù)概念的抽象過程，體會(huì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的具體方法，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

創(chuàng)設(shè)情境[8]：

(1)如果張紅以1元/kg的價(jià)格購買了某種蔬菜wkg，那么她需要支付p=元，其中p是w的函數(shù)；

(2)如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積S=，這里S是a的函數(shù)；

(3)如果立方體的棱長(zhǎng)為b，那么立方體的體積V=，這里V是b的函數(shù)；

(4) 如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)c=，這里c是S的函數(shù)；

(5)如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km，那么他騎車的平均速度v=km/s，這里v是t的函數(shù).

關(guān)于冪函數(shù)的性質(zhì)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧初中一次函數(shù)y=x、二次函數(shù)y=x2和反比例函數(shù)y=x-1的研究思路，由直觀的圖象觀察入手，并結(jié)合函數(shù)的“集合——對(duì)應(yīng)說”概念和單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì)，從局部到整體進(jìn)行研究.

二、理解學(xué)生，明晰教學(xué)難點(diǎn)

“理解學(xué)生，明晰教學(xué)難點(diǎn)”是冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵階段.理解學(xué)生，就是要全面了解學(xué)生的思維規(guī)律，把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).[1]對(duì)學(xué)生的已知未知以及能知想知進(jìn)行分析，知道學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的，才能了解學(xué)生的思維狀況以及教學(xué)的起點(diǎn)和能夠達(dá)到的終點(diǎn).教師要從學(xué)生的實(shí)際學(xué)情出發(fā)，要對(duì)本班學(xué)生的思維水平和方式做到心中有數(shù)；明晰冪函數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)，選擇合理恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法.

1．學(xué)情分析，了解思維方式

本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)理解了函數(shù)的概念、表示法和基本性質(zhì)，也已經(jīng)熟悉研究具體函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì)的方法，具備一定的抽象、推理和運(yùn)算能力，但對(duì)于研究一類函數(shù)的思路過程尚未形成框架和系統(tǒng)，并且此階段的學(xué)生思維活躍，有強(qiáng)烈的好奇心理，勇于大膽的嘗試，樂于動(dòng)手體驗(yàn)，易于接受新挑戰(zhàn)，但鑒于知識(shí)層次的限制，學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力仍然需要進(jìn)一步提升和發(fā)展.

學(xué)習(xí)冪函數(shù)需要學(xué)生從5個(gè)具體的函數(shù)中歸納出其共性，并進(jìn)一步抽象出冪函數(shù)概念，學(xué)生需要具備一定的觀察和歸納能力、形象思維和抽象思維能力，這是通過適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)可以達(dá)到的.但是如何研究?jī)绾瘮?shù)這一類新的函數(shù)的圖象和性質(zhì)對(duì)于學(xué)生來說還是比較困難的，學(xué)生一般局限于僅從代數(shù)運(yùn)算或者圖象直觀一方面來研究，需要教師進(jìn)行正確的引導(dǎo)和啟發(fā).

2．明晰難點(diǎn)，選擇教學(xué)方法

三、理解教學(xué)，確定教學(xué)目標(biāo)

“理解教學(xué)，確定教學(xué)目標(biāo)”是冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)步驟.理解教學(xué)，就是要把握教學(xué)的基本規(guī)律，按教學(xué)規(guī)律辦事.[1]在了解學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，深入理解冪函數(shù)內(nèi)容本質(zhì)以及其中蘊(yùn)含的育人價(jià)值的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)知識(shí)和技能為明線，以數(shù)學(xué)思想方法為暗線，確定明確具體、可操作、可檢測(cè)和可發(fā)展的冪函數(shù)教學(xué)目標(biāo)，厘清教學(xué)的思路，促使學(xué)生的理性精神和數(shù)學(xué)思維方式得到潛移默化的發(fā)展.

1．教學(xué)分析，溝通知識(shí)聯(lián)系

具有結(jié)構(gòu)性的內(nèi)容與教學(xué)的知識(shí)是有效教學(xué)的基礎(chǔ).根據(jù)教學(xué)重難點(diǎn)的把握以及教學(xué)方法和規(guī)律的認(rèn)識(shí)，教師需要在數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容體系中溝通與冪函數(shù)學(xué)習(xí)相關(guān)的知識(shí).初中一般從圖象直觀角度來感知和研究函數(shù)，高中函數(shù)的概念及基本性質(zhì)強(qiáng)調(diào)用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言表達(dá)和代數(shù)運(yùn)算證明來研究函數(shù)，這都為本節(jié)課的教學(xué)提供了參考.

2．確定目標(biāo)，厘清教學(xué)思路

通過以上分析，將冪函數(shù)教學(xué)目標(biāo)確定為：

①通過具體實(shí)例，體會(huì)冪函數(shù)概念的抽象過程，準(zhǔn)確描述冪函數(shù)的一般特征，并掌握判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)的方法.

③通過例題的訓(xùn)練，深化對(duì)冪函數(shù)概念的理解，初步體驗(yàn)運(yùn)用冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)解決問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展.

首先，通過創(chuàng)設(shè)情境、結(jié)合具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生能夠準(zhǔn)確描述情境中5個(gè)冪函數(shù)的共同特征，經(jīng)歷冪函數(shù)概念的抽象過程，能夠準(zhǔn)確判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)；其次，以5個(gè)常見的冪函數(shù)為例，能夠從代數(shù)運(yùn)算和圖象直觀相結(jié)合的角度，了解和概括冪函數(shù)的性質(zhì)，能夠感悟其中滲透的數(shù)學(xué)思想方法；最后，通過例題的訓(xùn)練，能夠深入理解冪函數(shù)的概念、了解冪函數(shù)圖象和性質(zhì)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到一定的發(fā)展.

四、理解技術(shù)，精設(shè)教學(xué)過程

“理解技術(shù)，精設(shè)教學(xué)過程”是冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的核心環(huán)節(jié).理解技術(shù)，就是要懂得如何有效利用技術(shù)幫助學(xué)生的學(xué)和教師的教[1].通過理解數(shù)學(xué)、學(xué)生和教學(xué)，確定了教學(xué)重難點(diǎn)、目標(biāo)以及大致的教學(xué)思路，但是具體的教學(xué)過程該怎樣設(shè)計(jì)呢？基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以問題為導(dǎo)向、采用問題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)方式[9].理解技術(shù)，通過問題串的設(shè)計(jì)和現(xiàn)代信息技術(shù)的輔助，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生正確的思考，從而突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)、達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

1．問題設(shè)計(jì)，啟發(fā)學(xué)生思考

問題1 請(qǐng)以x為自變量，y為因變量表示上述情境中的5個(gè)函數(shù)解析式，并觀察這些函數(shù)解析式，它們有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將5個(gè)函數(shù)解析式變換成以x為自變量，y為因變量的形式，體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)集之間的單值對(duì)應(yīng)，[6]而不同的符號(hào)或形式表示是非本質(zhì)的.通過觀察這些函數(shù)的解析式，歸納出它們的共同特征，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

問題2這幾個(gè)函數(shù)解析式雖然具有相同的y=xα形式，但是名稱卻不同，我們能否給它們起一個(gè)統(tǒng)一的名稱？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受5個(gè)函數(shù)解析式的共同特征，重新整合并給予特殊的一次函數(shù)y=x、二次函數(shù)y=x2、反比例函數(shù)y=x-1等以統(tǒng)一的名稱，建立新、舊知識(shí)的聯(lián)系[10].

設(shè)計(jì)意圖:例1具有鞏固新知的功能.[11]通過辨析判斷以上5個(gè)函數(shù)，強(qiáng)化對(duì)冪函數(shù)概念的理解，掌握判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)的方法，并為后續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)做鋪墊.

問題3 我們學(xué)過了哪些函數(shù)知識(shí)？并思考如何研究?jī)绾瘮?shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖:聯(lián)系學(xué)過的函數(shù)知識(shí)以及研究具體函數(shù)基本性質(zhì)的思路過程，明確研究?jī)绾瘮?shù)的視角和方法.

y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定義域值域單調(diào)性奇偶性定點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖：通過小組合作，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)5種冪函數(shù)的定義域、值域不全相同，但定義域、值域都包括(0,+∞)，并且5種冪函數(shù)在第一象限內(nèi)都有圖象，即冪函數(shù)在第一象限內(nèi)有意義，啟發(fā)學(xué)生從代數(shù)運(yùn)算和圖象直觀兩方面進(jìn)行探究.

設(shè)計(jì)意圖:觀察第一象限內(nèi)5種函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)α對(duì)5種冪函數(shù)單調(diào)性的影響，并通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證，歸納出冪函數(shù)的性質(zhì)1：在第一象限內(nèi)，α>0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上是增函數(shù)；α<0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上是減函數(shù)，并利用信息技術(shù)直觀呈現(xiàn)冪指數(shù)α對(duì)冪函數(shù)單調(diào)性的影響.

問題6 觀察表中的奇偶性一欄，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問2：如果α既不是奇數(shù)也不是偶數(shù)，那么冪函數(shù)y=xα的奇偶性是怎樣的呢？

設(shè)計(jì)意圖：填表過程中學(xué)生對(duì)于5個(gè)冪函數(shù)的奇偶性已經(jīng)有了一定的判斷，以追問的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，嚴(yán)格證明α對(duì)冪函數(shù)的奇偶性的影響，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維方式，并歸納出冪函數(shù)的性質(zhì)4：當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)；反之未必.

問題7 從整體看這些冪函數(shù)圖象有什么共同特征？

問題8 從冪函數(shù)圖象在坐標(biāo)系中各個(gè)象限的分布看，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：通過前5個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生理解冪函數(shù)的概念，并發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的局部圖象和性質(zhì)；再通過問題6發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的奇偶性，從而根據(jù)冪函數(shù)的奇偶性和第一象限內(nèi)的圖象，進(jìn)一步得出冪函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的整體圖象；然后通過問題7和8，從整體上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)5：冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)，以及冪函數(shù)的性質(zhì)6：冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限.

2．技術(shù)輔助，完善教學(xué)過程

信息技術(shù)的一個(gè)關(guān)鍵特征是運(yùn)用數(shù)字、圖形和符號(hào)，為抽象的數(shù)學(xué)理論構(gòu)建一個(gè)直觀、動(dòng)態(tài)的模型[12].教師借助現(xiàn)代信息技術(shù)手段，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到冪指數(shù)α對(duì)冪函數(shù)圖象的影響，以及歸納出冪函數(shù)的性質(zhì)，突破教學(xué)難點(diǎn)和達(dá)到教學(xué)目標(biāo).

圖1 圖2

在問題5中，學(xué)生觀察5個(gè)冪函數(shù)的靜態(tài)圖象，難以直觀感知冪函數(shù)的圖象變化規(guī)律以及冪指數(shù)α對(duì)冪函數(shù)的影響.利用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象變化，直觀感知冪指數(shù)α對(duì)冪函數(shù)曲線凸性等影響(如圖1)，歸納出冪函數(shù)的性質(zhì)2：在第一象限內(nèi)，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象在(0,+∞)是下凸的；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象在(0,+∞)是上凸的；當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)圖象向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近；以及冪函數(shù)的性質(zhì)3：在第一象限內(nèi)，當(dāng)冪函數(shù)的圖象位于直線x=1的右側(cè)時(shí)，冪指數(shù)大的，圖象在上；冪指數(shù)小的，圖象在下；位于直線x=1的左側(cè)恰好相反.利用問題7和問題8引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象的視角從局部轉(zhuǎn)向整體，并借助GeoGebra軟件給出5種冪函數(shù)的整體圖象(如圖2)，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和了解冪函數(shù)的性質(zhì)5和6.通過問題設(shè)計(jì)和技術(shù)輔助，繼續(xù)完善冪函數(shù)完整的教學(xué)過程，如下圖所示.

數(shù)學(xué)教學(xué)要在綜合考慮數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)、學(xué)生的認(rèn)知水平和教學(xué)的一般規(guī)律的基礎(chǔ)上，并結(jié)合信息技術(shù)的輔助，用數(shù)學(xué)的方式育人.指向“四個(gè)理解”的冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)是有先后順序、相互關(guān)聯(lián)和影響的，并且“四個(gè)理解”共同組成教師教好數(shù)學(xué)、學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，如下圖為指向“四個(gè)理解”的冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)系流程圖.其中，“理解數(shù)學(xué)，明確教學(xué)重點(diǎn)”是首要的；“理解學(xué)生，明晰教學(xué)難點(diǎn)”是關(guān)鍵的；“理解教學(xué)，確定教學(xué)目標(biāo)”是重點(diǎn)的；“理解技術(shù)，精設(shè)教學(xué)過程”是核心的.

指向“四個(gè)理解”的冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)也要注意：理解數(shù)學(xué)要從一般觀念認(rèn)識(shí)和指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究活動(dòng)，把握其中的思想和方法.理解學(xué)生既要知道學(xué)生的已知未知能知想知，更要掌握學(xué)生是如何學(xué)的.理解教學(xué)要基于教學(xué)規(guī)律設(shè)置明確具體、可操作、可檢測(cè)和可發(fā)展的教學(xué)目標(biāo)，而不是空洞高深、難以達(dá)到的.理解技術(shù)最重要的是合理使用技術(shù)，能夠突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)，而不是僅僅追求手段的多樣性.只有充分理解這四個(gè)方面，并將其合理適當(dāng)?shù)厝谌虢虒W(xué)設(shè)計(jì)，才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.最后需要說明的是，課標(biāo)中雖然只要求理解5個(gè)具體冪函數(shù)的圖象變化規(guī)律和了解冪函數(shù)，但是為了培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的轉(zhuǎn)變，對(duì)冪函數(shù)的性質(zhì)做了適當(dāng)引申，教師可以綜合考慮本班學(xué)情，對(duì)此部分進(jìn)行合理選擇.