函數圖像切線問題“大盤點”

江蘇省溧水高級中學 (211200) 方金寶

導數的幾何意義就是曲線在該點處切線的斜率.用導數的幾何意義研究曲線切線的有關問題是導數最基本的應用，也是近年高考的一個熱點.本文以2019年的高考試題為例進行剖析，力求揭示此類試題的考查形式，探索它們的求解策略.

題型一:求切線方程

例1 (2019年全國Ⅰ卷理科13題)曲線y=3(x2+x)ex在點(0，0)處的切線方程為．

解：∵y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex，∴曲線在點(0,0)處切線的斜率k=3，∴切線方程為y=3x.

例2 (2019年江蘇卷11題)在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線l經過點(-e,-1)(e為自然對數的底數)，則點A的坐標是．

考查函數H(x)=xlnx，當x∈(0,1)時，H(x)<0；當x∈(1,+∞)時，H(x)>0，且H′(x)=lnx+1，當x>1時，有H′(x)>0,從而H(x)單調遞增，注意到H(e)=e，故x0lnx0=e存在唯一的實數根x0=e，故A(e,1).

(Ⅰ)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；

點評：曲線切線方程的求法可分為已知切點(如在點處的切線)和未知切點(如過點的切線和已知斜率的切線)兩種類型：(1)已知切點(x0，f(x0))求切線方程的步驟：①求出函數f(x)的導數f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，并化簡．(2)未知切點求切線方程的步驟：①設出切點(x0，f(x0))；②求出函數f(x)的導數f′(x)；③求切線的斜率f′(x0)；④寫出切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)；⑤代入其它條件解出切點坐標；⑥把切點(x0，f(x0))重新代入切線方程并化簡.

題型二 求參數的值

例4 (2019年全國Ⅲ卷理科6題)已知曲線y=aex+xlnx在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則( ).

A.a=e,b=-1B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1.

點評：利用切線方程求參數的值是切線問題的逆向應用，例4通過求導數得到切線斜率的表達式，根據斜率為2解得a，再將切點坐標代入直線方程求得b.在這一過程中主要運用了方程思想和待定系數法.

題型三 求距離最值

點評：很多曲線上的動點到直線距離的最值問題都可以用數形結合思想，把它轉化為切線切點到直線的距離，當然本題也可以使用公式法結合基本不等式來處理.

題型四 公切線證明

(1)討論函數f(x)的單調性，并證明函數f(x)有且只有兩個零點；

(2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

通過2019年高考試題的研究分析我們發現，函數圖像的切線問題根據切線已知條件的不同，主要有“曲線在某點的切線”、“曲線過某點的切線”、“已知斜率的切線”以及“兩曲線的公切線”等四種常見類型；根據題型的不同，主要有“求切線方程”、“求參數的值”、“求距離最值”以及“公切線證明”等四種常見題型.其實無論哪種問題，我們只需抓住該問題的核心和處理該問題的一些常見數學思想如方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化和化歸思想等.切線問題的核心其實就是切點，一個函數的切線要關注已知點是否為切點，兩個函數的切線要關注切點是否同一，牢牢抓住切點，問題便迎刃而解.