2020年高考全國(guó)Ⅲ卷第23題的證法探究

重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (404000) 程鳳娟 胡 艷

數(shù)學(xué)探究越來(lái)越受到人們的關(guān)注.如何作數(shù)學(xué)探究是數(shù)學(xué)教學(xué)必須面對(duì)的問(wèn)題.歷年的高考試題具有典型性和導(dǎo)向性，探究其解法及其背景和考試功能對(duì)教學(xué)是十分有益的，本文擬就2020年高考全國(guó)Ⅲ卷中不等式選講部分的考題的證明方法作一探究.

1.原題呈現(xiàn)

對(duì)于第(1)問(wèn)，利用恒等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca及已知條件即得；而對(duì)于問(wèn)題(2)，由于題干中出現(xiàn)了max{a,b,c}，使得該考題一改過(guò)去不等式考題中常見(jiàn)的絕對(duì)值或代數(shù)不等式的形式，增加了試題的難度.對(duì)于這種題型，如何證明呢？

2.證法探究

分析2:利用二元柯西不等式(b+c)2≤(12+12)(b2+c2).

分析3:利用恒等式(b+c)2-4bc=(b-c)2.

分析4:利用條件恒等式a+b+c=0時(shí)a3+b3+c3=3abc.

分析5:由b+c及bc，將b,c看作是一元二次方程的二根，利用韋達(dá)定理的逆構(gòu)造方程.

分析6:由a+b+c=0及abc=1，利用平面解析幾何中直線與曲線相交的條件.

分析7:反證法是不等式證明中的一種重要方法，十分有用，而對(duì)于本題則有：

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的基本途徑，而建立知識(shí)之間的聯(lián)系給解題提供了廣闊的思維空間，通過(guò)長(zhǎng)期不懈的努力，必能抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)科的核心價(jià)值，同時(shí)還能加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握，這對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是十分有用的.