例析多元函數(shù)累次最值法的應用

江西省吉安市白鷺洲中學 (343000) 吳望茂

多元函數(shù)最值問題是中學數(shù)學競賽的熱點和難點，而多元函數(shù)最值問題的一般解決方法需用到高等數(shù)學，此已超出中學數(shù)學范圍.限于中學數(shù)學范圍，此類問題的解決難度大，技巧性高，無固定模式可循.為此，我們提出一種具有普遍意義和實用價值的初等方法，我們稱之為“累次最值法”.

二元函數(shù)累次最值法：對于平面區(qū)域Ω上的實二元函數(shù)f(x，y)，設(shè)Ω中所有點(x，y)的橫坐標x的集合為X={x|(x,y)∈Ω}；對任意固定的x∈X，記Ω中所有橫坐標為x的點(x，y)的縱坐標y之集合為Yx={y|(x,y)∈Ω}.

實際上，二元函數(shù)累次最值法的思想是降維轉(zhuǎn)化與逐步逼近.所謂降維轉(zhuǎn)化，就是把二元函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為兩次單元函數(shù)最值問題；所謂逐步逼近，就是于最大值之中尋找最大者，于最小值之中尋找最小者.對于平面區(qū)域Ω上二元函數(shù)f(x，y)的最值問題，其解題步驟是：

(1)對任意固定的x∈X={x|(x,y)∈Ω}，視f(x，y)為y的函數(shù)，求f(x，y)在Yx={y|(x,y)∈Ω}上的最值，結(jié)果是x的函數(shù)φ(x);

(2)令x在X中變化，求φ(x)在X上的最值，此即f(x,y)在Ω上的最值.

與二元函數(shù)類比，我們可以將上述方法推廣到n元函數(shù)，建立以下n元函數(shù)累次最值法：

相應地，n元函數(shù)累次最值法的思想也是降維轉(zhuǎn)化與逐步逼近.對于n元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)的最值問題，首先對任意固定的x1,x2,…,xn-1，視f(x1,x2,…,xn)為xn的函數(shù)，求其最值，結(jié)果是x1,x2,…,xn-1的函數(shù)φ(x1,x2,…,xn-1)；再把此n-1元函數(shù)φ(x1,x2,…,xn-1)的最值問題降維轉(zhuǎn)化為n-2元函數(shù)最值問題；如此繼續(xù)降維轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化為n次單元函數(shù)最值問題.

例1 (2013年新加坡數(shù)學奧林匹克試題)設(shè)x,y,z均為正實數(shù)，求W=

(1)對任意固定的x>0,y>0,視f(x,y,z)(z>0)為z的函數(shù)，f(x,y,z)=

多元函數(shù)累次最值法，雖然其解題過程略顯繁復，但其思路清晰自然，解題方法程序化，具有普遍意義和實用價值.