基于“怎樣解題表”的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)
——以一道函數(shù)綜合題為例

南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué) (215000) 吳雙民

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》指出：教師要努力提升教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施能力，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、理解其中的教育價(jià)值，把握教學(xué)中的難點(diǎn)，理解學(xué)生認(rèn)知的特征；在此基礎(chǔ)上，探索通過什么樣的途徑能夠引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時(shí)，感悟知識的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)教育價(jià)值.，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生不可避免地會碰到一些難以下手的題目，或是對概念理解不透徹，或是題目本身難度較大，學(xué)生對題意理解困難較大，這時(shí)候教師應(yīng)該在充分理解知識本質(zhì)的同時(shí)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)方案，從學(xué)生的思維起點(diǎn)出發(fā)，在學(xué)生困惑處重點(diǎn)講解，并及時(shí)反思小結(jié)，理清知識之間的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生能夠融會貫通，掌握知識的本質(zhì).

著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞在《怎樣解題》中提出解題的四個(gè)步驟：理解題目；擬定方案；執(zhí)行方案；反思.“理解題目”是弄清楚題目中的已經(jīng)條件有哪些，要解決什么問題；“擬定方案”是尋找解題思路，找出已知數(shù)據(jù)和未知量之間的聯(lián)系，是關(guān)鍵步驟；“執(zhí)行方案”是將之前的解題思路付諸實(shí)踐；“回顧”是檢查已經(jīng)得到的解答，反思還有不同的方法嗎？能在別的題目中利用這個(gè)結(jié)果或者方法嗎？為了有效引導(dǎo)學(xué)生掌握解題的正確方法，筆者引用波利亞的“怎樣解題表”，以一道函數(shù)綜合題為例，探索合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，深入剖析解題思路，啟發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

二、試題分析

(1)求f(x)的極值；(2)若在區(qū)間(0,e]上，對于任意的x0，總存在兩個(gè)不同的x1,x2，使得g(x1)=g(x2)=f(x0)，求a的取值范圍．

該題目來自2016年徐州三模卷，涉及到的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，函數(shù)與方程，均為B級要求.本題已知條件給定兩個(gè)函數(shù)，其中f(x)是已知函數(shù)，g(x)中的參數(shù)a是未知函數(shù).第一小問求f(x)的極值，是常規(guī)題，考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；第二小問考察g(x)的圖象，方程g(x)=f(x0)有兩個(gè)不同的解，轉(zhuǎn)化為直線y=k,(0

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.理解題目

在這一步要弄清楚題目的已知條件是什么，需要解決的問題是什么，已經(jīng)條件和未知結(jié)論之間有哪些聯(lián)系.

要解決的問題：對于任意的x0，總存在兩個(gè)不同的x1,x2，使得g(x1)=g(x2)=f(x0)，求a的取值范圍．

根據(jù)函數(shù)f(x)的表達(dá)式和定義域[0,e]可以得到函數(shù)f(x)的性質(zhì)，如單調(diào)性，值域，圖象等，對任意的x0∈(0,e]，f(x0)的值來自于函數(shù)的值域，它不是一個(gè)定值，而是在某個(gè)范圍內(nèi)的值.總存在兩個(gè)不同的x1,x2，使得g(x1)=g(x2)=f(x0)，是指g(x)=f(x0)有兩個(gè)不同的解，如何確定這個(gè)方程有兩個(gè)不同的解？問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=f(x0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

2.擬定方案

這個(gè)階段的關(guān)鍵是找出已知條件與未知量直接的聯(lián)系，可以類比遷移已經(jīng)解決的相似問題，你能否想到一道更容易著手的相關(guān)題目？本題的難點(diǎn)在于第二問的題意學(xué)生理解起來有困難，這句話“任意的x0，總存在兩個(gè)不同的x1,x2，使得g(x1)=g(x2)=f(x0)”需要分解難度，為幫助學(xué)生理解題意，設(shè)置兩個(gè)引例.

引例1若方程f(x)=k有兩個(gè)不同的解，求k的取值范圍.

引例1與問題：“若存在兩個(gè)不同的x1,x2使得f(x1)=f(x2)=k，求k的取值范圍.”有何不同？問題的本質(zhì)是一樣的，只是呈現(xiàn)的形式不一樣，引例1的目的是將難點(diǎn)分解，梳理方程的解的個(gè)數(shù)問題的一般處理思路，將方程f(x)=k有兩個(gè)不同的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖像與直線y=k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)的圖像.這個(gè)題型是學(xué)生熟悉并能解決的題型，給學(xué)生鋪設(shè)臺階，從熟悉的問題出發(fā)，通過轉(zhuǎn)化與化歸將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將題中的f(x0)用k來代替，直線y=k是動直線，函數(shù)f(x)的圖像是確定的，問題就是一個(gè)定的函數(shù)圖像與動直線的交點(diǎn)問題，學(xué)生更容易接受和理解.

在問題解決的過程中，通過引例一復(fù)習(xí)回顧方程解的問題與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，通過引例二函數(shù)與定直線有兩個(gè)交點(diǎn)問題過渡到題目中一組平行直線系與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，層層鋪墊，將難點(diǎn)分解，學(xué)生更容易接受.學(xué)生解決了上述兩個(gè)問題后，大致可以確定本題的解題思路：

3.執(zhí)行方案

解題方案給出了一個(gè)總體的框架，這一步將解題計(jì)劃付諸實(shí)踐，寫出完整的解題過程，檢查解題過程中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，確定每一個(gè)步驟的正確性和可行性.解答過程如下：

x(0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)↗極大值↘

得f(x)極大=f(1)=1.

(2)由(1)知f(x)在(0,1]上遞增，在[1,e]上遞減，所以對?x0∈(0,e]有f(x0)∈(0,1]，令f(x0)=k，方程g(x)=k,0

x(0,2a)2a(2a,+∞)g'(x)—0+g(x)↘極小值↗

a(2e,2)2(2,+∞)h'(a)+0—h(a)↗極大值↘

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)學(xué)生對這一知識點(diǎn)的理解，對數(shù)學(xué)思想方法的掌握，筆者設(shè)置了兩道變式拓展，激發(fā)學(xué)生探究的欲望，點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，在探究討論中體驗(yàn)解題的成就感.

引申1：方程解的問題轉(zhuǎn)化為值域之間的包含關(guān)系

引申2：將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系

拓展引申1中改變了問題的呈現(xiàn)方式，引申2將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，難度進(jìn)一步增加，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的意識.

4．回顧