一道常見作圖題的探究

江蘇省揚州市甘泉小學 (225123) 趙元翔

一、發現問題，提出猜想

在區里的一節復習公開課上，老師提出:如何在一個長20厘米，寬15厘米的長方形中畫一個最大的半圓?結論是：當寬大于或等于長的一半時，以長為直徑畫出的半圓是長方形中最大的半圓.像這樣畫最大半圓的作圖題經常出現在各式各樣的練習中，許多老師對此深信不疑.可是，如果我們帶著探究的眼光重新思考這個問題，那么會不會存在一條更長的直徑？

二、靈活調整，嘗試驗證

在長方形中，當寬正好是長的一半時，以長為直徑的半圓確實是最大的.但是當寬大于長的一半時，給人感覺是還有“伸展”空間.

首先我們會想到以對角線為直徑的半圓(圖1)，顯然超出了長方形內部.

圖1 圖2 圖3

調整1：如圖2，將點B向上移動得到點B′，斜邊AB′同樣大于長AB，但是半圓和線段AD相交，不完全在長方形的內部.

調整2：如圖3，如果將點A向右移動，讓出一些距離得到點A′，以A′B′為直徑的半圓是可以在長方形內部的，并且如果B′C固定，AA′越短，則A′B′越長；AA′固定，B′C越短，同樣A′B′會越長.

按照上面的分析，我們可以進行一些初步的嘗試，準備一個長20厘米，寬15厘米的長方形紙片和一個直徑21厘米的半圓紙片，通過擺一擺、放一放，不難發現半圓是可以完全置于長方形內部的.

三、深入思考，得出結論

筆者經過進一步研究發現了一個優美、統一的數學結論：

圖4

四、回顧反思，經驗升華

當a=20cm,b=15cm時，最大半圓的直徑為

中學老師時常提到小學教錯了，工作幾年以來，筆者也一直在思考“如何才能教對數學課”，這個“對”不僅指知識本身的對與錯，同樣也指教學行為的對與錯.為什么許多學生從小就覺得數學困難？為什么班上智力好的同學也缺少刻苦鉆研的精神？我想不在于學生的“學”，更多的是在于教師的“教”.教師應帶著批判的眼光去思考教學觀念、去分析教學內容、去研究教學方法，通過強化自身的批判精神喚醒學生數學學習的興趣和敢于挑戰的創新精神.