從兩個三角征解題的解看三角問題代數思維

貴州省畢節市七星關東辰實驗學校 (551700) 劉先海 魏 星

文[1]指出，三角問題都是方程x2+y2=1下的二元函數t=G(x,y)的值域問題，即未知數符號化(x=cosθ,y=sinθ)的方程函數問題(文[2])，因此，代數(特殊二元二次方程x2+y2=1)，幾何(單位圓x2+y2=1)，三角(x=cosθ,y=sinθ)是統一的，把復雜的三角問題化為代數問題，用基本的方程與函數思維，自然且簡單.

例1 在銳角ΔABC中，已知b2cosAcosC=4accos2B，求y=sin2BcosB的最大值(數學通訊(學生版)，2019第10期，問題420).

分析：y=sin2BcosB=cosB(1-cos2B)是關于cosB的一元函數，故只需在b2cosAcosB=4accos2B中求cosB的取值范圍.

解:由正弦定理b2cosAcosC=4accos2B?sin2BcosAcosC=4sinAsinCcos2B?

例2 已知ΔABC中，sinC=2cosAcosB，求sin2A+sin2B的最大值和最小值(數學通訊,2019年第11期,問題征解422).

解法2：由sinC=2cosAcosB>0得A,B都是銳角，sinC=2cosAcosB?sin(A+B)=2cosAcosB

?sinAcosB+cosAsinB=2cosAcosB?tanA+tanB