解析幾何中的五種定值問題再厘清*
——《“翻”出課堂，“轉”出精彩》研究之系列

湖北省大冶一中 (435000) 陳志剛

解析幾何中的定值問題是近幾年高考命題的一個熱點和難點．在求解過程中要根據題目特點，制定適當的解題方案，配合代數運算，才能達到解題目的．在教學中若能提高解決此類問題的效率，對學生思維的深度，做題的專注度，以及基本運算能力的培養，都有非常積極的意義．

一、線段長為定值

首先設法將要求的線段或與相關的線段通過設點、設直線(斜率)表示出來，再抓住點在曲線上進行一些代數變形可達到解題目標．

圖1

評注：本題所求的線段是定點到動直線的距離，而動直線又是定圓與動圓的交線，下面只要通過設橢圓一動點建立動圓的方程就解決線段表示的問題了，所以建立動圓方程是問題解決的核心．

二、斜率為定值

直線的斜率與點的坐標有關，如何通過設坐標表示出要求的斜率很重要，多數時候是先求點，再求表示出斜率．

評注：本題中所求斜率的直線是橢圓的弦所確定的直線，所以利用解決橢圓的弦所在的直線方程的方法是非常有效的解題途徑．解題過程中抓住角平分線的特點分別設出直線PA、AQ的斜率是成功解題關鍵．

三、面積為定值

這類題中的面積大部分是三角形或四邊形面積，充分利用某邊與坐標軸或定直線垂直，可以降低列式和解題的難度．

評注：如何表示出橢圓的內接三角形的面積是解題的關鍵，如果已知一條邊與坐標軸垂直，用坐標差就可以表示，如果沒有此條件，只能用點到直線的距離和和弦長來解決．

四、數量積為定值

解析幾何中的向量問題，大多都是采用設點解決的，所設的點要盡量用已知的量表示出來，這樣就能降低后面的計算難度．

評注：題中的向量比較多，首先是找點將其表示出來．通過將動直線方程與已知方程聯立得到動點N的坐標是關鍵，但必須注意動直線l與x軸垂直與否，不確定時需分類討論．

五、關系式為定值

所謂的關系式大多與線段、坐標有關，利用題設條件先將此關系式用參數表示出來，然后再設法消去參數解題．

點評：本題是拋物線問題，相對容易，設法用坐標表示出關系式是解題的核心，又因為與曲線的弦有關的，將直線方程與曲線方程聯立，通過消元，運用根與系數的關系解題是非常重要且實用的解題方法．