從積分的角度尋求一道函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解法

陜西省西安市第七十中學(xué) (710003) 萬(wàn) 穎

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理能力、分析問(wèn)題能力和創(chuàng)新意識(shí)，有時(shí)會(huì)以高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)為背景.微積分是高等數(shù)學(xué)里的核心，也是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和零點(diǎn)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，下面筆者從高等數(shù)學(xué)中積分的角度去探索一道高中函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解法，以開(kāi)拓解題思路，發(fā)散解題思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

題目已知函數(shù)f(x)=lnx-kx,k∈R，若是x1,x2函數(shù)f(x)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：lnx1+lnx2>2.

定積分的相關(guān)概念和簡(jiǎn)單應(yīng)用在高中已有所涉及，本解法所涉及高等數(shù)學(xué)中定積分的換元法、定積分的保序性、牛頓萊布尼茨公式的逆用等概念和方法，對(duì)學(xué)生的理解具有一定的挑戰(zhàn)性，但解法創(chuàng)新巧妙，邏輯推理嚴(yán)密，可以起到鍛煉學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)分析問(wèn)題的能力的作用，也可作為開(kāi)放性的教學(xué)活動(dòng)和學(xué)生的研究性學(xué)習(xí).

德國(guó)數(shù)學(xué)家F·克萊因倡導(dǎo)“高觀(guān)點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”意識(shí)，認(rèn)為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題.將高等數(shù)學(xué)的理論、思想、方法遷移到高中數(shù)學(xué)中，可以幫助我們從更高的角度把握某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵.高中教師應(yīng)在吃透教材、研究解題技巧的同時(shí)，關(guān)注高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，創(chuàng)新解題思路，拓寬學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)素養(yǎng).