例析圓與向量的交匯問題

江蘇省宜興市和橋高級中學 (214211) 王 蓬

近年來經常出現圓與平面向量交匯的問題，這是兩個難點的疊加題，由于涉及知識點比較多，給解題增加了難度.本文通過分類舉例，并對典型例題進行剖析、對解法進行評注.

一、抓住圓的知識解向量問題

圖1

評注：在充分考察已知條件后，將所給三角形特殊化為直角三角形，為后面利用建立坐標系解題提供了便利，這是特殊化解題的一個成功例證，雖然此法不一定是最好，但這是一個重要的解題思路．

評注：題中的A、B兩點分別在兩個圓上運動，將兩個動向量轉化為定向量(長度、方向確定)是解題主要任務，通過建立適當的坐標系、利用函數與方程是解決此類問題有效途徑之一．

二、關于圓弧上動點的向量問題

圖2

評注：關于圓弧上動點問題，首先需要確定圓心，然后建立以圓心為原點的直角坐標系后，圓上的動點坐標就可以表示出來了，為下面用坐標表示向量后解題掃清了障礙．

圖3

評注：題設中的圓弧雖然沒有直角，但只要抓住圓心和半徑就可以建立直角坐標系，把圓上的動點設出來，這樣向量就就能由坐標表示了，同時要注意所設的角參數θ的范圍．

三、挖掘隱含圓解向量問題

圖4

評注：本題中沒有點坐標，而是抓住單位向量設坐標，引出了直角坐標系，再通過設動點，根據已知條件得到動點的軌跡為圓，求出圓的方程后再運用圓心到直線的距離解決了問題，其中得到圓的方程并加以運用是解題核心．

例6 已知A,B,C,D四點共面，BC=2，AB2+

圖5

四、運用圓的性質解向量問題

評注：通過建立直角坐標系，設點，就可以把題設條件轉化為一個圓的方程，然后利用圓的相關性質使問題化解，題目中雖然沒有圓的條件，將已知條件轉化變形可以達到目的．