對《數學思考》一課疑難問題的思考與實踐

浙江省寧波市鄞州區潘火街道德培小學 朱 軍

一、思——新授課還是復習課

翻開人教版小學數學六年級下冊教科書《復習與整理》（P100），里面安排了這樣一個教學內容：4 數學思考。

粗略一看，這一課是通過解決“6個點、8 個點，兩兩相連能連成幾條線段”的問題，讓學生化繁為簡，采用列表、畫圖、找規律等策略解決連線問題。如果不去看這一教學內容在教材中的編排，很難想象這是一節總復習課。但在實際的教學中，許多教師把這節課當做新授課進行教學。

這樣定位的原因有以下幾個方面：第一，從編排的時間上看，這一課時安排在六年級下冊《整理與復習》中，可以看出這是一節復習課。第二，從配套的《教師用書》上看，翻開人教版小學數學《教師用書》，提到：“本套教材，從一年級下冊開始，每一冊都安排有一個單元“找規律”或“數學廣角”的內容。其中‘找規律’是讓學生探索給定圖形或數字中簡單的排列規律。‘數學廣角’中滲透了排列、組合、集合、等量代換、邏輯推理、統籌優化、數學編碼、抽屜原理等方面的數學思想方法。在此基礎上，這里通過三道例題進一步鞏固、發展學生找規律的能力，分步枚舉組合的能力和列表推理的能力。”對此，不難看出這一課時是一節復習課，是借助例題5 這一素材幫助學生整理數學方法和數學思想。第三，從課后的練習上看，教材中的“做一做”安排了這樣一道練習。這道練習與上面例題的兩點連線問題屬于不同的題型，說明不是例題的專項練習，而是數學思考中其他數學方法和數學思想的補充。認識到這三點，也就能確定本節課的授課類型為復習課。

二、思——先整理復習還是先教學例題

確定這一課時是復習課，教師就要思考：是先整理復習？還是先教學例題？

如果先進行整理復習，則須對一至六年級學習中有關數學思考的內容進行梳理。翻閱一至六年級人教版小學數學教科書，有關數學思考的內容不僅多，而且比較散，有蘊含化繁為簡思想，有蘊含集合思想，還有蘊含代數思想等。再加上畫圖、列表、找規律等這些解決問題的策略，想將這些零散的知識點整理成框架存在很大困難，如果不整理，就失去復習課的意義，這也是許多教師很困惑的地方之一。

為此，我嘗試幾種不同方法的課堂實踐：或先整理復習數學思考的各種方法、策略等，再把例5 作為練習讓學生應用；或先教學例5，再復習整理，然后將有關數學思考的方法、策略等整理成框架。經過對比分析發現：先整理復習再解決例題的方法由于缺乏具體實例，學生很難回顧整理，而且在教學過程中依靠學生回憶對其來說較空洞，缺乏具象化。而先教學例5 再整理復習，因為有具體實例支撐，已經有一部分的數學思考方法和策略呈現在黑板上，接著讓學生回憶以前所學數學思考的方法和策略，學生基本能夠回憶起來，相對來說容易很多。

由此可見，可以通過例5 教學先形成部分數學思考方法和策略，進而幫助學生回憶一至六年級課堂教學中，哪些問題也是運用了這樣的數學思考方法，這樣整理有了一個“半扶半放”的過渡，教學可操作性大大提高。

三、思——挖深一個復習點還是拓廣一片復習點

作為六年級總復習中的一節課，到底是挖深點，復習一個知識點？還是拓廣點，復習一整片相關的知識點？兩者有利有弊，挖深一個知識點容易讓學生深入掌握這節課的知識與技能，能夠在較短的時間里掌握好這一種方法；拓廣一點則可以打通學生對這一內容的縱向聯系，融會貫通掌握這一類方法。

作為一節總復習課，它不同于單元復習，最重要的是讓學生聯系以往所學知識，綜合發展地看待問題。因此，我認為應該從一個知識點入手，進而回顧整理小學階段相應的數學思考內容，將以前學過的數學方法、策略以及蘊含的數學思想都暴露出來，形成一整片相關知識，讓學生梳理并建構數學思考的知識框架。基于這樣的理念，我設計了以下主要教學環節。

1.【主要環節一】呈現問題，喚醒數學思考經驗

（1）課一開始，創設這樣的情境：有一天老師仰望星空，突然想到一個數學問題，這么多的星星如果兩兩連起來，能連幾條線段？

（2）課件出示百點圖，提出問題：這里有100 顆星星，我們把它們看成100 個點，兩兩相連，最多能連幾條線段？

（3）讓學生大膽猜測。

生1：100×99=9900 條。

生2：100-1=99 條。

生3：100×99÷2=4950 條。

……

（4）進行質疑：到底是多少條，我們可以怎么辦？用什么方法解決這個問題？喚醒學生平時解決此類問題的經驗。

生1：可以畫一畫。

師：畫圖是一個好策略，讓學生畫一畫。

生：畫不下去了。

師：怎么不畫了？

生：100 個點太多不好畫。

師：100 個點連線畫圖很復雜，怎么辦？

生：點少一點會簡單一點。

師建議：你們覺得從幾個點開始研究比較好？

生1：從2 個點入手。

生2：2 個點知道了，我們再研究3 個點，4 個點……看看有沒有規律。

師及時表揚：厲害！想到從簡單的2 個點、3 個點、4 個點……開始研究，再找規律解決100 個點問題是個好方法，我們就試試這樣的方法能不能解決連線問題。

（5）呈現表格，學生進行探究。

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【設計意圖】這一教學環節一方面喚起學生曾經解決問題的數學方法和策略，另一方面通過交流、討論，讓學生明白復雜的問題我們可以從簡單入手，探求解決問題的方法和策略。

2.【主要環節二】解決難題，運用數學思考方法

（1）學生自主探究后，交流反饋，預設：

生1：直接連線，再數一數。

生2：有規律的連，按規律計算。

這里有規律的連有兩種情況：一種是每增加一個點，就會增加和前面點數相同的線段數；還有一種可能就是：從一個點出發能連幾條線，再依次從剩下的點出發能連幾條線。

其中有規律的連并找出規律是本節課的重點，我分8 個步驟進行：

第一，出示表格，提問：三個點能連成幾條線段？

第二，繼續追問，思考：3 條是怎么來的呢？

第三，討論交流，預設：

生1：原來兩個點連成有一條線，增加一個點以后就會和前面兩個點連兩條線，就是3 條。

生2：第1 個點可以連兩條線，第2 個點還能連一條線，這樣也是3條。

學生邊說教師邊課件演示。

第四，算式表征：教師小結這兩種方法雖然想法不一樣，但是都進行了有規律的連線，是好辦法。那這兩種想法能用算式表示出來嗎？

生1：1+2=3。

生2：2+1=3。

第五，尋找規律：4 個點連線的情況又是怎么樣的呢？5 個點的情況呢？

生1：3+2+1=6 或1+2+3=6。

生2：4+3+2+1=10 或1+2+3+4= 10。

第六，總結規律：這里的連線存在什么規律？

先讓學生四人小組討論，進而總結：每增加一個點，這個點可以和前面已有的每個點都連一條線段，所以前面有幾個點，就會增加幾條線段。還可以從一個點出發，能連除它以外的任意一個點，再依次減少直到1 為止。這樣兩種規律都是可以的。

第七，應用規律，解決問題：再回到一開始提出的問題，如果有100個點，那么可以連幾條線段？

生：1+2+……+99 或99+98+……+1。

第八，優化算法：教師提出思考，這樣的算式我們可以怎么計算。

生：（1+99）×99÷2=4950（條）。

【設計意圖】這個環節讓學生通過列表、畫圖、用算式表示等策略找到連線問題的規律，進而解決問題，看似解決一道題，其實在解決問題的過程中學生不斷運用各種解決問題的數學思考方法和策略，為下一步梳理數學思考做好鋪墊。

3.【主要環節三】回顧過程，梳理建構數學思考框架

（1）教師引導學生回顧：“在解決這個難題的過程中，我們是怎么思考的呢？”

生交流討論：我們遇到難題的時候先化難為易，從簡單的兩個點出發，再通過列表、畫圖、算式等策略找到規律解決難題。

（2）師繼續追問：在我們小學數學學習過程中，還有沒有這樣的解決經歷？

生1：打電話、植樹問題、雞兔同籠……都有用到化難為易的數學思考方法。

生2：我們學過找規律，先從簡單的開始找，再找復雜的。

生3：我們還可以畫圖、列表、計算等方法幫助我們思考。

師小結并板書：看來數學思考的方法和策略在我們解決問題的時候非常重要。復雜的問題我們可以從簡單入手，通過畫一畫、列表、算式表征等策略找到規律，并應用規律解決復雜的問題。

【設計意圖】通過回顧解決問題的過程，喚起學生曾經解決問題的數學思想方法和策略，讓學生發現原來我們六年的數學思考學習其實是有聯系的，很多地方用到的方法都是相同的，構建數學思考的知識框架。

以上是我對這一節課的思考，經歷了“思考—實踐—再思考—再實踐”這樣“三思三實踐”的過程。如果我們一線教師對每堂課的研究都能緊扣“三思三實踐”，相信教師們對教材的理解、對學生的了解一定能提高很 多。