利用logoup 3D繪圖軟件突破簡單多面體外接球問題

林朝冰

【摘要】數學建模是數學學科六大核心素養之一，創設真實情境是素養導向下高考數學的重要考查方式，簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點。事實上，2019年高考數學全國卷已經充分體現了對核心素養和情境化的考查，2019年高考數學全國Ⅲ卷的第16題就設置了一個3D打印的情境。logoup 3D繪圖軟件可以簡單形象地畫出球及各種多面體的3D圖形，能生動形象地再現球與簡單多面體的空間位置，并能通過3D打印機將模型打印出來。利用logoup 3D繪圖軟件繪制簡單多面體及其外接球并通過3D打印機將繪制的模型打印出來，能達到三個目的，一是培養了學生數學建模的核心素養;二是為學生創設了一個真實的情境，在情境學習過程中數學核心素養得到了培養;三是使簡單多面體外接球問題這個學習難點得以突破。筆者在教學過程中做了一些嘗試，意在拋磚引玉，供大家參考。

【關鍵詞】核心素養;外接球;logoup 3D繪圖;創設情境

簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題的關鍵是確定球心的位置進而求出球的半徑。這類問題之所以成為學生的難點，主要是因為學生在頭腦中沒有形成清晰的空間形象，無法想象出球與簡單多面體的空間位置。logoup 3D繪圖軟件可以簡單形象地畫出球及各種多面體的3D圖形，能生動形象地再現球與簡單多面體的空間位置，并能通過3D打印機將模型打印出來。

著名的學習金字塔告訴我們“做中學”或“實際演練”是主動學習的一種，學習效率可達到75%，學生在信息技術課中已經學習了logoup 3D繪圖軟件的使用，動手繪出簡單多面體及其外接球，能有效幫助學生形成清晰的球與簡單多面體的空間位置的空間形象，從而突破本問題的難點。

一、簡單多面體外接球相關結論的推導

二、繪制直棱柱及其外接球

1.繪制邊長為100的正方體及其外接球

將學生分為6個小組，讓每個學生獨立自主繪制2分鐘，然后小組交流3分鐘。

教師：同學們在繪制過程中遇到了什么困難？后來又是怎么解決的？

學生：繪制正方體后，光標位于正方體下底面的中心處，繪制球時，球心位于光標處，也就是說球心位于正方體的下底面的中心，所以必須移動光標，光標的位置和球的半徑是解決本問題的關鍵。

成果分享：

logouo 3D繪圖代碼：

1 color red

2 cube 100，100，100

3 up 50

4 t=50*sqrt（3）

5 color lime

6 ball t

設計意圖：直觀地感受了球心與正方體中心的空間位置，進一步鞏固了正方體外接球的半徑與正方體邊長之間的關系。

2.繪制邊長為100的正方體及其內切球

將1.1的問題改為繪制內切球，學生很快得出解決方案，只須將第6行改為ball 50即可，這時有學生提出繪制的圖形不像！教師適時引導哪里不像？如何修改才會更像？經過小組討論很快學生得出修改方案，先繪制球再繪制正方體。

成果分享：

logouo 3D繪圖代碼：

1 color red

2 cube 100，100，100

3 up 50

4 color lime

5 ball 50

設計意圖：體會到了用logouo 3D繪圖的次序。

3.繪制長、寬、高分別為100、80、60的長方體及其外接球

要求：小組合作繪圖方案，并分享成果。

教師：繪圖次序是怎樣的？

學生：先畫長方體，再定球心，后求半徑。

教師：球心位置如何確定？

學生：將光標上移30。

教師：球的半徑怎么求？能用數學式子表述出來嗎？

學生：設長方體的長、寬、高分別為a、b、c則球的半徑為：

成果分享：

logouo 3D繪圖代碼：

1 COLOR red

2 CUBE 100，80，60

3 up 30

4 COLOR lime

5 t=0.5*sqrt（pow（100，2）+pow（80，2）+pow（60，2））

6 BALL t

設計意圖：直觀地感受了球心與長方體中心的空間位置，進一步鞏固了長方體外接球的半徑與正方體邊長之間的關系。

4.繪制底面邊長為30、高為30的正六棱柱及其外接球

要求：小組合作繪圖方案，并分享成果。

教師：請分享繪制過程中遇到的問題及解決方案。

學生：不能直接插入正六棱柱，只能先畫好正六邊形再拉伸，而且畫正六邊形時，軟件設定的變量是邊數和外接圓半徑，需要將邊長換算成半徑。

教師：如何換算？

學生：正六邊形的邊長等于外接圓的半徑。

教師：球心位置如何確定？

學生：將光標下移15。

教師：前面的例子都是光標上移，為什么這個例了是下稱？

學生：畫好正六棱柱后光標位于上底面中心。

教師：球的半徑怎么求？能用數學式子表述出來嗎？

學生：設正六棱柱的底面邊長為a，高為h，則正六棱柱的底面外接圓半徑r=a，所以球的半徑為：R。

成果分享：

logouo 3D繪圖代碼：

教師：球心位置如何確定？

學生：底面中心向上拉伸到33處。

成果分享：

1 NGON 4，56.5685425

2 COLORRGB（255，0，0）

3 FILL

4 BODY

5 SCALE 0

6 UP 100

7 DONE

8 UP-66

9 COLOR gray

10 BALL 66

設計意圖：體會如何確定正棱錐外接球心的位置及求外接球半徑的方法。

四、拓展：繪制圓錐及其內切球

1.相關結論的推導

定理2 已知球O是底面半徑為r，高為h的圓錐的內切球，則球O的半徑為

2.繪制底面半徑為30，高為40的圓錐及其內切球

教師：內切球的半徑怎么求？

教師：球心位置如何確定？

學生：底面中心向上拉伸到15處。

成果分享：

1 COLOR red

2 CONE 30，40

3 UP 15

4 COLOR blue

5 BALL 15

設計意圖：體會如何確定圓錐外接球心的位置及求外接球半徑的方法。

《普通高中數學課程標準》（2017年版）明確指出：“學科核心素養是育人價值的集中體現.是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。數學學科核心素養是數學課程目標的集中休現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。數學學科核心養素包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。”

教育部考試中心任子朝先生在《從能力立意到素養導向》一文中指出：“素養導向的高考命題注重情境化試題的考查。情境活動指能夠表現出學生學科素養的情境活動，是學科素養的載體，情境包指現實的生活實踐情境活動與學術探究情境活動。在考查過程要理論結合實踐，特別是結合生產、生活實際設計試題，采用源于社會、源于生活的真實的情境，考查學生分析和解決具有實際意義的問題的能力。”

事實上，2019年高考數學全國卷已經充分體現了對核心素養和情境化的考查，2019年高考數學全國Ⅲ卷的第16題就設置了一個3D打印的情境。

利用logoup 3D繪圖軟件繪制簡單多面體及其外接球并通過3D打印機將繪制的模型打印出來，能達到三個目的，一是培養了學生數學建模的核心素養;二是為學生創設了一個真實的情境，在情境學習過程中數學核心素養得到了培養;三是使簡單多面體外接球問題這個學習難點得以突破。

當前，信息技術飛速發展，利用3D打印等先進的信息技術輔助數學教學，是數學教學改革的發展方向。

參考文獻：

[1]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）.

[2]任子朝.從能力立意到素養導向[J].中學數學教學參考，2018，13.