運用GeoGebra 著力提升高等數學的教學質量

周 洪

（四川幼兒師范高等專科學校 科技處，四川 江油 621700）

一、高等數學需要易學易用、快捷高效的學科教學軟件

數學學科邏輯性強、知識高度抽象，需要借助可視化的方法和技術手段來展現數學的內容，貼近學生的現實生活，為數學知識的理解和數學概念的構建提供支撐。數形結合是數學教學的基本思想，運用可視化的教學手段，可建立起“數”與“形”的有機聯系，降低了數學內容的理解難度，能有效的揭露數學本質，幫助學生掌握數學概念和數學結論。在傳統的數學教學中，圓規、直尺、三角板，實物模型，掛圖等是傳統的數學教具，老師借助教具繪制示意圖，借助實物模型比劃、指點，這些方法和教學手段，簡單有效，很多數學老師至今仍在使用。不過，在教育信息化普及推廣的今天，原始的教學方法和教學手段所遺存的缺陷就顯現出來，如用粉筆黑板繪制的圖形粗糙、不準確，精致的教學掛圖很少，實物模型數量不足及動態演示效果差等等，都說明高等數學課堂需要用現代教育技術手段來進行必要的改造和提升。

（一）普適性的教學軟件輔助高數教學效果有限

用Office 辦公軟件制作的Word 課件、PPT 課件，或用Authorware 軟件、Flash 軟件制作的 CAI課件等都有數形結合的可視化功能，也可以用來輔助數學教學，不過從本質上講，這些課件是教師將教案、教學設計、示意圖等內容用投影、動畫的方式展現給學生，它無法及時更新內容，也無法與學生交流互動，教學演示效果很有限[1]。

（二）幾何畫板輔助高等數學教學有很多局限和不足

幾何畫板、超級幾何畫板的出現，讓數學教師有了專門的學科教學軟件。借助幾何畫板、超級幾何畫板，數學教師可以繪制平面圖形和立體圖形，數形結合的效果有了較大的提升，但是這兩款軟件也存在一些不足，比如“數”與“形”不能同步顯現，軟件的高級功能還要收費，資源不夠豐富等。對高等數學而言，幾何畫板的應用范圍有限（主要應用于平幾、立體幾何），對輔助代數、微積分、級數、空間曲線、曲面、概率統計等教學內容無能為力。

（三）Mathematica 等專業軟件對教師的要求太高，且耗時多、效率低

運用Mathematica、Matlab、AutoCAD 等數學軟件、繪圖軟件的功能強大，應用范圍廣，用它們繪制出的圖形很逼真，展示效果也不錯，但用它們來制作教學課件，對老師的要求卻很高，需要熟練掌握相應的計算機程序語言和一些英文命令[2-5]。此外，使用這些軟件制作課件，步驟較為復雜，要耗費大量的時間和精力去設計、編寫計算機操作程序，數學教師必須在課前制作課件，調試好課件，才能保證在教學過程中正常使用課件。不少數學老師覺得，用這樣的軟件去制作課件，耗時多、效率低，還不如用粉筆畫示意圖那樣簡單易行。所以，高等數學課堂期盼那種易學易用、快捷高效的學科教學軟件。

二、GeoGebra 6.0 軟件的課堂教學的適應性

（一）GeoGebra 可視化效果明顯，使用范圍覆蓋了高等數學的教學內容

GeoGebra 是奧地利數學家Markus Hohenwarter 于2002 年設計開發的一款動態幾何軟件，它將幾何、代數、微積分、統計、表格集于一體，其功能強大、操作簡單。運用GeoGebra，你可以畫點、向量、線段、直線、多邊形、圓錐曲線、二次曲面，以及函數圖象等，事后你還可以改變它們的屬性，也可以在GeoGebra 中直接輸入方程和點坐標，馬上就能得到相應的圖形和位置，數形結合的同步性尤為突出。

GeoGebra 還有處理變數的能力(這些變數可以是一個數字、角度、向量或點坐標)，它也可以對函數作微分、積分運算，能找出方程的根或計算函數的極大值、極小值等等。

GeoGebra 功能強大，繪制的動態圖形生動、精美、逼真，可視化效果顯著，其應用范圍覆蓋了高等數學的主要教學內容，這些都彰顯出它在高等數學課堂上大有可為的潛力。

（二）GeoGebra 6.0 版本的便利性，使之很容易融入課堂教學

GeoGebra 是一款免費的數學教學軟件，它易學易用，便于學習和推廣。在便利性方面，最新版本的GeoGebra 6.0 考慮中國用戶的需求，界面和功能菜單全部用中文標示，軟件中常用的指令都已經漢化，并集成到虛擬鍵盤中，用戶可在使用中隨時調用，操作十分簡便。

在軟件學習方面，GeoGebra 6.0 軟件自備學習資料，新手容易入門。數學教師或學生通過短時間的培訓，都可以掌握GeoGebra 6.0 軟件的基本功能和基本操作，學會利用這些基本功能制作數學教學課件。一般情況下，數學老師不需要進行數值計算，也不需要記憶英文指令，只需要點擊鼠標，像操作簡單的計算器一樣快捷方便的制作教學課件。在GeoGebra 6.0 的支撐下，數學教師可將學科教學的理念生動的展現出來，以幫助學生理解數學概念，構建學科知識，培養數學能力。

（三）GeoGebra 6.0 版本的兼容性，使師生之間的交流互動更為順暢

GeoGebra 各種版本之間可以互相兼容，并且GeoGebra 可以安裝在臺式電腦、筆記本電腦上，也可以安裝在平板電腦iPad 和智能手機上，而且用手機可以打開和操作由電腦制作的小型課件，用電腦也可以打開和操作用手機制作的課件。

三、GeoGebra 6.0 在高等數學教學中的作用

（一）讓數學教師實現無課件的信息化教學

GeoGebra 6.0 以點、線、面、向量、函數為基本元素，具有可視化、多重表征、數形結合的特點，輸入方程即可得到對應的圖形，繪出點、線的同時自動顯示對應的坐標或方程。GeoGebra 6.0針對不同的數學物件，提供不同的視區，如代數區、繪圖區、運算區、3D 繪圖區、試算區和概率計算等，在不同視區提供各自適用的工具列，其中包含了特定工具、指令、內建函數和運算子，讓使用者可以運用不同表征的數學物件來創建動態結構。

一般情況下，教師使用GeoGebra 6.0，只需3-5 個步驟就可以馬上繪制動態圖象、空間形體或圖表，及時有效的輔助教學，不需要課前花大量的時間精力去制作和準備課件。此外，與GeoGebra 6.0 無縫鏈接的GeoGebra 官網擁有大量免費的、不斷更新的教學資料，教師上網注冊后，可在課堂上隨時調用GeoGebra 官網上的資料，極大豐富了教師教學資源。

應用GeoGebra 6.0，老師可以在課堂上快速地制作演示圖以闡釋數學概念，也可以現場繪制動態圖形以引導學生思考問題，還可以通過改變問題的條件去探索新的結論，或者利用GeoGebra 6.0 設計一些數學實驗（或及時調用GeoGebra 官網上的數學實驗資源），讓學生去感受和體驗“做數學”的苦與樂，保持課堂教學的連續性和流暢性。

例1，在課堂上現場制作、演示基本極限Ι 的生成過程。

第1 步，設置滑動條x；

第3 步，操作滑動條，讓x →0，觀察極限生成過程。

例2.演示定積分教學中“上和不增，下和不減”的動態變化過程。

第1 步，設置滑動條n。

第2 步，在代數欄中輸入函數表達式 f( )

x =x2- 2x+ 2，按Enter 鍵。

第3 步，在代數欄中輸入指令：

上和（x2- 2x+ 2,0,4,n），按Enter 鍵；再輸入指令：下和（x2- 2x+ 2,0,4,n），按Enter 鍵。

第4 步，操作滑動條，讓n 變化，觀察上和、下和的動態變化情況即可（圖1）。

圖1

因此，應用GeoGebra 6.0 繪制動態的教學輔助圖形（圖表），演示數學對象及其變化過程，體現了“現做現用，快捷高效”的特點，讓數學教師真正實現無課件的信息化教學。

正如北師大曹一鳴教授所說，GeoGebra 是一款具有功能全、跨平臺、易操作特點的動態數學軟件，是數學教學的新幫手[6]。

（二）讓學生獲得和掌握強有力的數學學習工具

GeoGebra6.0 的手機APP 有兩種版本，一種是“圖形計算器”，另一種是“3D 繪圖計算器”，它們的功能、界面和GeoGebra6.0 類似，都是中文版的，操作方法完全相同。這就提供了一種可能，即學生完全可以按照老師現場制作演示圖的方法，在手機上自己制作相應的圖形，體驗數學知識的生成過程，這既是學知識也是學方法。因此，數學課堂不再排斥手機，學生也不再是課堂上的觀眾，而是課堂教學活動的全程參與者。

例3，在空間解析幾何中，學生對老師用電腦演示“馬鞍面”感興趣，老師就讓學生在手機上自己試著做一做。學生在“3D 繪圖計算器”軟件中直接輸入x2-y2=z，按Enter 鍵，一個生動、直觀的馬鞍面就立刻出現在手機屏幕上。學生可以用手指去旋轉、平移、放大、縮小這個曲面，從不同的方位去觀察它。

接著，教師讓學生在曲面中插入幾個平面：x =l，y =m，z =n（其中l，m，n由滑動條控制），觀察這些平面與馬鞍面相交時交線的形狀，理解馬鞍面為什么又叫“雙曲拋物面”的名稱由來。這種新奇的體驗讓學生若有所思，興趣盎然。美國教育心理學家戴維·帕金斯在《為未來而教，為未來而學》一書中指出，學習即理解，理解即思考；學習即運用，把你的理解和思考用起來；學習即感興趣，全局性理解源于發自內心的渴望[7]。

事實上，智能手機+GeoGebra 軟件，讓學生獲得了一種強有力的數學學習工具，促進了學生的學習和思考，激發了學生應用數學的興趣。具體的作用有三：其一，學生可以借助自己繪制的直觀模型，用經驗去驗證數學結論，用動態直觀的數學實驗去解釋疑惑，加深對數學知識的認識和理解；其二，圍繞課堂教學內容，積極參與數學問題的討論，用自己觀察到的情形為例子，去解釋、說明數學原理或數學性質；其三，學生可以隨時在GeoGebra 官網上登陸，免費獲得國內外大量的數學學習資源，拓寬眼界。所以，在數學學習內容和方法上，學生不必被老師牽著走，可以解放思想，自主學習、自主解決感興趣的數學問題，培養發現問題、提出問題和解決問題的數學實踐能力。

對于學生而言，應用手機版的GeoGebra 軟件，繪制動態示意圖，探索和解釋數學問題，可在思考、驗證與實驗中提升數學學習的品質，實現“學以致用，培養能力”的教學目標。

（三）讓數學課堂構建起“互聯網+”特點的教學信息平臺

張景中院士指出，教育技術對學科教學和學習的支持，有效的方法就是向師生提供易學易用、功能全面的學科教學平臺[8]。利用微信群、QQ群，我們可以建立一個服務課堂教學的信息平臺（圖2）。在這個信息平臺中，教師和學生既是信息的輸入端，也是信息的接受端，其中傳遞交流的信息流就是GeoGebra 所承載的生動、直觀、動態展示的數學教學內容。這個平臺根植于普通的課堂，能實現課堂教學信息雙向、及時、無障礙的互聯互通，它不需要耗費其他的教育資源，也不需要專門的電教技術，所使用的只是教師的電腦、學生的手機，以及QQ（微信）群的交互功能、GeoGebra 軟件、與GeoGebra 軟件無縫連接的GeoGebra 官網資源。它是“互聯網+”時代，用極簡的方式構建起來的實用型教學信息平臺。

圖2 教學信息平臺

平臺的作用之一，共同研討數學問題。“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優美的幾何體。它由形狀完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，四個曲面扣合(牟合)在一起形成了一個方形傘(方蓋)。快捷、準確地畫出牟合方蓋的空間圖形，可以幫助學生觀察它的形狀，探索它的幾何特性。

例4，繪制牟合方蓋及其輪廓線。

1）畫出兩個圓柱面：x2+ y2=1，x2+ z2=1。

打開GeoGebra 6.0，激活3D 繪圖區。在代數區的輸入欄中，輸入“x2+ y2=1”后按Enter 鍵，得到一個圓柱面，再輸入“x2+ z2=1”，按Enter鍵，得到另一個圓柱面，二者相交所圍成的部分就是“牟合方蓋”（圖3）。與此同時，老師可讓學生用手機上的“3D 繪圖計算器”，按照屏幕顯示的步驟、指令，一起繪制圖形。

圖3

2）為了清楚地觀察牟合方蓋，繪制它的輪廓線。

輸入指令“曲線（cost, sint, sint, t, 0, 2π）”，按Enter 鍵；再輸入指令“曲線（cost, sint, -sint, t, 0,2π）”后按Enter 鍵，即可得牟合方蓋的輪廓線（圖3）。

3）繪制由兩個圓柱面x2+ y2=1，x2+ z2=1相交構成的牟合方蓋。

兩個圓柱面x2+ y2=1，x2+ z2=1 的參數方程，可設為：cosα，sinα，sinα·tanβ；cosα，sinα·tanβ，sinα。根據這兩個參數方程來繪制牟合方蓋。

在輸入欄中，輸入指令“曲面（cosα，sinα，sinα·tanβ，α，0，2π，β，-）”，按Enter 鍵，得到左右兩個曲面；再輸入指令“曲面（cosα，sinα·tanβ，sinα，α，0，2π，β，-）”，按Enter 鍵，得到上下兩個曲面。由此，得到牟合方蓋曲面（圖4）。

圖4

在上面的繪圖過程中，老師只用了3 個步驟，輸入了6 條指令，就快速呈現出牟合方蓋的生成過程，令學生稱奇。老師將繪圖文件發送到QQ群，借此直觀圖形，與全班同學一起討論問題。學生通過調整觀察視角和圖形的大小，不斷豐富對牟合方蓋的感性認識。接著，師生們饒有興趣的對牟合方蓋的幾何特征進行了探索。

平臺的作用之二：探索與驗證數學結論。利用這個教學信息平臺，學生在課堂上有什么問題，需要驗證什么數學結論，有什么新的發現或新的見解，都可以通過QQ 群發送給老師，老師就可以及時了解學生的學習情況，也可以發動全班同學共同討論相應的數學問題。

圖5 sinx 的泰勒展式

隨后，老師把這個圖象的ggb 文件發送到QQ群，學生用手機上的“圖形計算器”打開該文件，操作圖中的滑動條，就可以觀察當n 增大時sinx 與該級數貼合的詳細過程。通過直觀和經驗的驗證，同學們對泰勒展式的真實性深信不疑。

在這個教學信息平臺上，GeoGebra 軟件同時作為教學工具和學習工具，這就使得課堂中師生間的“共同語言”多了，教與學的交流、溝通也就順暢了。借這個教學信息平臺師生可以加強交流互動，圍繞教學主題或彼此感興趣的數學問題，進行廣泛深入的研究性學習，共同提升課堂教學的效率和品質。其中，GeoGebra 帶給我們的，不僅是方便快捷的數學內容展示，更是理想的深度學習平臺和深度教學工具[9]。它為我們提供了“多元聯系表征”的、開放的教學環境，促進了學生對數學本質的理解。

四、結語

借助深入數學學科的軟件GeoGebra 6.0，教師在課堂上，可以現做現用，快捷方便的制作教學輔助圖形（圖表），及時呈現數學對象的可視化形象，直觀、動態地表現出數學性質的生成、演變過程，促進學生深入思考，激發學生的數學學習興趣，真正實現無課件的信息化教學，提升課堂教學質量。借助“手機+GeoGebra 6.0”，學生可以做數學圖象或數學模型去驗證數學結論，也可以做數學實驗，探索生活中感興趣的數學問題，積累“做數學”的體會和經驗，培養發現問題和提出問題的能力，提升自己的數學素養。借助課堂教學信息平臺，數學課堂的視域更為廣闊，老師的教學資源豐富了，學生的學習方式改變了，課堂成為了師生們交流、探討數學問題的場所，研究、解決數學問題的工作室。總之，合理、高效地應用GeoGebra 6.0，改變了傳統數學課堂教學的面貌，為數學教學、數學學習增添了新的活力。