理解天體運動知識清除天體問題障礙

2020-11-13 09:46:48浙江成金德

教學考試(高考物理) 2020年3期

浙江成金德

人類對浩瀚的宇宙充滿了各種夢想，隨著科學技術的發展，探尋廣袤宇宙的奧秘正在逐步實現。天體運動在力學中占有重要地位，要求學生熟練運用牛頓第二定律、萬有引力定律、勻速圓周運動分析以及探討天體的運動規律，解決此類問題學生需要對天體的運動構建模型，這對學生來說是一個難點。為解決此類難題，下面就有效復習天體運動的知識作以下探討。

一、理解知識要點

1.三個要點

(1)一個定律

適用條件：嚴格地說公式只適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可以近似使用，但此時r應為兩物體重心間的距離。對于均勻的球體，r是兩球心間的距離。

(2)一個模型

(3)一顆衛星

與地球自轉同步，相對于地球表面靜止的衛星，叫做同步衛星。其特點為六個“一定”：

①軌道平面一定。同步衛星繞地球旋轉的軌道平面一定與地球的赤道面重合。

②周期一定。同步衛星的運行方向與地球自轉方向一致，同步衛星的運行周期與地球的自轉周期相同，即T=24 h。

2.三大關系

(1)天體的繞行速度、角速度和周期與半徑的關系

(2)運行速度、發射速度和宇宙速度間的關系

發射速度是指衛星隨火箭一起上升過程結束后與火箭分離時的速度；運行速度是指衛星在空中繞地球正常運行時的速度；宇宙速度是三個特定的臨界發射速度，如果以第一宇宙速度發射衛星時，衛星將繞地球表面運行。

宇宙速度是衛星做各種軌道運動的臨界發射速度，它的數值是確定的；運行速度是各種各樣的，隨著軌道半徑的增大而減小；發射速度取決于火箭發射系統，根據發射不同衛星的需要確定不同的發射速度。當以第一宇宙速度v=7.9 km/s發射時，恰好是衛星發射的最小速度，也是衛星環繞地球運行的最大速度。

(3)重力和萬有引力的關系

地球對物體的吸引力就是萬有引力，重力只是萬有引力的一個分力，萬有引力的另一個分力是物體隨地球自轉所需的向心力。

3.三項區分

(1)區分軌道半徑和天體間的距離

(2)區分天上追及和地上追及

地面上的物體只要后者的速度大于前者的速度就可以追上。衛星間的追及不同于地面上物體的追及，在同一軌道上的兩顆衛星，后者一旦加速，它將立即離開原軌道進入半經更大的高軌道上運動，因此，同一軌道上的衛星追及問題是一類典型的問題，實際采用的方法是先讓追趕衛星減速，由半徑大的高軌道轉向半徑小的低軌道，由萬有引力的作用使衛星增大線速度，經一定時間后再使追趕衛星加速，由低軌道回到高軌道，這樣才可以追上。

(3)區分赤道上物體、近地衛星和同步衛星

赤道上物體受到地球引力作用，此力的兩個分力其中之一使物體隨地球繞地軸轉動，另外一個分力即為物體的重力；而近地衛星和同步衛星均受到地球的引力提供向心力，使它們繞地球轉動。它們作圓周運動的半徑關系為R物=R近

二、掌握解題方法

1.常規題型

求解天體問題的基本思路是將天體的運動看作勻速圓周運動，中心天體的引力提供向心力，再結合天體表面處物體的重力大小等于天體對它的引力大小。

【例1】2008年9月25日，我國載人航天宇宙飛船“神舟七號”進入預定軌道，且中國人成功實現了太空行走，并順利返回地面。我們通過電視轉播畫面看到航天員在出艙時好像“飄浮”在空中。

(1)試分析航天員“飄浮”起來的原因。

(2)已知地球的半徑R，地面的重力加速度g，飛船距地面高h，航天員在艙外活動的時間為t，求這段時間內飛船走過的路程s。

【分析】(1)航天員隨艙做勻速圓周運動，地球對航天員的萬有引力提供向心力，航天員處于完全失重狀態，故航天員“飄浮”起來。

(2)宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，地球對它的萬有引力提供向心力，則有

設地球表面處有一物體，質量為m′，根據萬有引力與重力間的關系可得

在時間t內，飛船做勻速圓周運動，則飛船走過的路程等于圓弧的長度，即

2.運行情況

衛星繞地球運行時，隨著軌道半徑的增大，由萬有引力提供向心力的關系可知，衛星的線速度減小，角速度減小，周期增大，向心力減小。

【例2】若人造衛星繞地球做勻速圓周運動，則下列說法正確的是

( )

A.衛星的軌道半徑越大，它的運行速度越小

B.衛星的軌道半徑越大，它的運行角速度越小

C.衛星的軌道半徑越大，它的運行周期越小

D.衛星的軌道半徑越大，它的向心加速度越小

【分析】衛星繞地球做勻速圓周運動時，萬有引力提供向心力，即

因此，可以判斷當軌道半徑增大時，運行速度減小，角速度減小，周期增大，向心加速度減小，故ABD正確，C錯誤。

3.變軌問題

衛星在軌期間自主改變運行軌道的過程稱為變軌。衛星運行軌道是橢圓，當衛星處于遠地點時，調整衛星所處狀態后火箭點火，這樣可使衛星的軌道變成需要的高度。若由高軌道變到低軌道時，則應調整好衛星狀態并減速，使衛星靠近地球；隨著衛星高度的降低，衛星的勢能轉變為動能，運行速度隨之增大；若由低軌道變到高軌道時，則應調整衛星狀態先加速，隨著衛星高度升高，衛星的動能轉變為勢能，速度也會隨之減小。當到達預定的軌道高度時，再次調整好衛星姿態并控制好速度，完成變軌操作。

【例3】如圖1所示，搭載著“嫦娥二號”衛星的“長征三號丙”運載火箭在西昌衛星發射中心點火發射，衛星由地面發射后，進入地月轉移軌道，經多次變軌最終進入距離月球表面100 km、周期約為118 min的工作軌道，開始對月球進行探測

圖1

( )

A.衛星在軌道Ⅲ上的運行速度比月球的第一宇宙速度大

B.衛星在軌道Ⅰ上的機械能比在軌道Ⅱ上大

C.衛星在軌道Ⅲ上經過P點的速度比在軌道Ⅰ上經過P點時大

D.衛星在軌道Ⅲ上經過P點的加速度比在軌道Ⅰ上經過P點時大

4.同步衛星

地球同步衛星，即相對地球靜止的衛星，其軌道平面只能與赤道平面重合，其軌道半徑r、運行速度的大小v和運行周期T都是唯一確定的。求解同步衛星問題時，不僅要熟練應用萬有引力提供向心力這個基本原理，還要注意應用同步衛星的有關特點。

【例4】某顆地球同步衛星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛星，試問，春分那天(太陽光直射赤道)在日落12小時內有多長時間該觀察者看不見此衛星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉周期為T，不考慮大氣對光的折射。

在春分時，太陽光直射地球赤道，如圖2所示，圖中圓E表示赤道，S表示衛星，A表示觀察者，O表示地心。從圖中可看出，當衛星S繞地心O轉到圖示位置以后(設地球自轉是沿圖中的逆時針方向)，其正下方的觀察者將看不見它。考慮到對稱性，有

圖2

rsinθ=R

5.雙星問題

在天體運動中，把兩顆彼此相距較近，而且繞同一點做圓周運動的恒星叫做雙星系統。由于雙星系統中兩顆恒星繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自所需的向心力，因此它們具有相同的角速度ω和相同的周期T。

【例5】現代觀測表明，由于引力的作用，恒星有“聚集”的特點，眾多的恒星組成不同層次的恒星系統，最簡單的恒星系統是兩顆互相繞轉的雙星，它們以兩者連線上的某點為圓心做勻速圓周運動，這樣就不至于由于萬有引力作用而吸引在一起，設某雙星中A、B兩星的質量分別為m和3m，兩星間距為L，在相互間的萬有引力的作用下，繞它們連線上的某點O轉動，則O點距B星的距離是多大？它們運動的周期為多少？(引力常量為G)

【分析】設O點距B星的距離為x，雙星運動的周期為T，由于相互間的萬有引力提供各自所需的向心力，由牛頓第二定律和萬有引力定律得

6.黑洞問題

黑洞是太空里的某些區域，那里的引力大得驚人，包括光在內的一切東西都難以逃逸出來。由于光子逃不出黑洞對它的引力約束，則光子繞黑洞做圓周運動，它的軌道半徑就是黑洞的最大可能半徑。求解黑洞問題，要緊緊抓住這個要點建立方程。

【例6】1997年8月26日在日本舉行的國際學術大會上，德國Max Planck學會的一個研究組宣布了他們的研究結果：銀河系的中心可能存在一個大“黑洞”。所謂“黑洞”，它是某些天體的最后演變結果。

(1)根據長期觀測發現，距離某“黑洞”6.0×1012m的另一個星體(設其質量為m)以2×106m/s的速度繞“黑洞”旋轉，求該“黑洞”的質量M；(結果要求兩位有效數字)

【分析】(1)設“黑洞”的質量為M，星體的質量為m，它們之間的距離為r，由于星體繞黑洞做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律得

解得黑洞的質量為

由此可得“黑洞”的可能最大半徑為

7.追及問題

衛星間的追及不同于地表上的追及，衛星間的追及問題是指兩者從最近分離到再次相遇的問題。求解此類問題，關鍵是弄清低軌道衛星比高軌道衛星多運行一周時再次靠近的條件。

【例7】假設有一載人宇宙飛船在距地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動，地球半徑約為6 400 km，地球同步衛星距地面高為36 000 km，宇宙飛船和一地球同步衛星繞地球同向運動，每當兩者相距最近時。宇宙飛船就向同步衛星發射信號，然后再由同步衛星將信號發送到地面接收站，某時刻兩者相距最遠，從此刻開始，在一晝夜的時間內，接收站共接收到信號的次數為多少？

【分析】設地球的質量為M，同步衛星的質量為m1，同步衛星的周期為T0，同步衛星離地球表面高度為h1，宇宙飛船的質量為m2，宇宙飛船的周期為T，宇宙飛船離地球表面高度為h2，由萬有引力提供向心力可得

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