電磁感應現象中力電綜合問題應用分析

黑龍江 陳洪剛

縱觀近幾年的高考試題發現，電磁感應中力電綜合性的題目常作為壓軸題出現，尤其是以“導軌+導體棒模型”為背景的題目，展示內容常以近代科技生活實際為情景，涉及電磁感應知識與力學知識，綜合考查學生對力學和電學基本理論規律及方法的靈活運用，這是計算題的命題趨勢，也是命題的熱點。下面根據自己多年的教學實際，談幾點應對破解此類問題的方法和思路。

一、電磁感應中的動力學問題

1.解決電磁感應中的動力學問題，一般思路是“先電后力”，具體思路如下，用“四步法”分析

2.電磁感應中動態分析問題

在電磁感應中往往遇到“軌+棒”類問題，涉及動態分析，解決的基本思路是：先通過棒運動狀態的分析，尋找動態變化過程中的臨界狀態，如速度、加速度最大或最小的條件。具體思路如下：

【疑點解釋】

①對電源的理解：在電磁感應現象中，產生感應電動勢的那部分導體相當于電源，如切割磁感線的導體棒、內有磁通量變化的線圈等。

②對電路的理解：內電路是切割磁感線的導體或磁通量發生變化的線圈；除電源外其余部分是外電路，外電路由電阻、電容器等電學元件組成。在外電路中，電流從高電勢處流向低電勢處；在內電路中，電流則從低電勢處流向高電勢處。

【典例分析1】如圖1所示，P、Q為水平面內平行放置的光滑金屬長直導軌，間距為L1，處在豎直向下、磁感應強度大小為B1的勻強磁場中。一導體桿ef垂直于P、Q放在導軌上，在外力作用下向左做勻速直線運動，運動過程中，導體始終與導軌垂直并接觸良好。質量為m、每邊電阻均為r、邊長為L2的正方形金屬框abcd置于豎直平面內，兩頂點a、b通過細導線與導軌相連，磁感應強度大小為B2的勻強磁場垂直金屬框向里，金屬框恰好處于靜止狀態。不計其余電阻和細導線對a、b點的作用力。

圖1

(1)通過ab邊的電流Iab是多大？

(2)導體桿ef的運動速度v是多大？

【解析】(1)設通過正方形金屬框的總電流為I，ab邊的電流為Iab，dc邊的電流為Idc

金屬框受重力和安培力，處于靜止狀態

mg=B2IabL2+B2IdcL2③

設導體桿切割磁感線產生的電動勢為E，有

E=B1L1v⑤

【思路點撥】由題目分析可知，ef棒切割磁感線，產生動生電動勢，相當于電源，并且f端電勢高，abcd線圈是外電路，再簡化電路，而金屬框處于平衡狀態，屬于電磁學與力學中平衡問題的結合，重點是求回路的電流I的大小，利用安培力公式及法拉第電磁感應定律和閉合電路的歐姆定律聯立便可求解。

【拓展訓練】如圖2所示，一輕繩繞過兩輕質滑輪，兩端分別連接著矩形導線框A1和石塊A2，線框A1的ab邊長l1=1 m，bc邊長l2=0.6 m，電阻R=0.1 Ω，質量m=0.5 kg，石塊A2的質量M=2 kg，兩水平平行虛線ef、gh之間存在著垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B=0.5 T，如果線框從靜止開始運動，進入磁場最初一段時間是勻速的，ef和gh的距離s>l2(取g=10 m/s2)。求：

圖2

(1)線框進入磁場前石塊A2的加速度a為多大？

(2)線框進入磁場時勻速運動的速度v為多大？

(3)線框完全進入磁場后，ab邊繼續運動到gh線的過程中，其運動性質如何？

【解析】(1)線框進入磁場前，線框A1僅受到細線的拉力FT和重力mg，石塊A2受到重力Mg和拉力FT。對線框進行受力分析，由牛頓第二定律得FT-mg=ma

對石塊進行受力分析有Mg-FT=Ma

ab邊進入磁場切割磁感線，產生的電動勢大小為E=Bl1v

受到的安培力大小為FA=BIl1

代入數據解得v=6 m/s

(3)線框完全進入磁場后到ab邊運動至gh線，線框中無感應電流，受力情況同進入磁場前，所以該階段仍做勻加速直線運動，加速度仍為a=6 m/s2。

【思路點撥】由題目審題分析可知，本題屬于連接體問題，進入磁場前線框做勻變速運動，利用牛頓第二定律隔離分析很容易解決；之后線框進入磁場開始做勻速運動，線框的一邊切割磁感線，產生動生電動勢，相當于電源，線框其余部分為外電路，線圈處于平衡狀態，重點為求回路的電流I，利用安培力公式及法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律聯立可求解。與例1相比，本題為連接體問題有加速度，相同點為二者都是從電磁感應電路中求電流I入手。而力與電相聯系的物理量由F=BIL和E=BLv可知都含有I，故I為力與電間相連的橋梁。

二、電磁感應的能量問題

1.能量轉化及焦耳熱的求法

(2)求解焦耳熱Q的三種方法：①焦耳定律Q=I2Rt

②功能關系Q=W克服安培力

③能量變化Q=ΔE其他形式的能量減少

2.解題的一般步驟

(1)確定研究對象(導體棒或回路)；

(2)弄清電磁感應過程中哪些力做功(正功負功情況)，以及哪些形式的能量相互轉化情況；

(3)根據動能定理、功能關系或能量守恒定律列式求解。

【典例分析2】如圖3所示，固定的水平光滑金屬導軌，間距為L，左端接有阻值為R的電阻。處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中，質量為m的導體棒與固定彈簧相連，放在導軌上，導軌與導體棒的電阻均可忽略。初始時刻，彈簧恰處于自然長度，導體棒具有水平向右的初速度v0。在沿導軌往復運動的過程中，導體棒始終與導軌垂直并保持良好接觸。

圖3

(1)求初始時刻導體棒受到的安培力；

(2)若導體棒從初始時刻到速度第一次為零時，彈簧的彈性勢能為Ep，則這一過程中安培力做的功W1和電阻R上產生的焦耳熱Q1分別為多少？

(3)導體棒往復運動，最終將靜止于何處？從導體棒開始運動到最終靜止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱Q為多少？

【解析】(1)初始時刻導體棒中感應電動勢E=BLv0

作用于導體棒上的安培力F=ILB

(2)由功和能的關系得

【思路點撥】由題目審題分析可知，導體棒切割磁感線，產生動生電動勢，相當于電源，R是外電路中電阻，導體棒處于運動變化狀態，屬于電磁學與能量的結合問題，重點是求回路的電流，抓住初始時刻所求的FA大小，利用安培力公式及法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律聯立求解，最后，導體棒做往復運動，分析確定導體棒最終將靜止于何處，明確能量的轉化過程，即機械能轉化為電能，電能又轉化為內能，最后利用能量守恒的觀點解決問題。

【拓展訓練】如圖4甲所示，電阻不計的軌道MON與PRQ平行放置，ON及RQ與水平面的傾角θ=53°，MO及PR部分的勻強磁場豎直向下，ON及RQ部分的磁場平行軌道向下，磁場的磁感應強度大小相同，兩根相同的導體棒ab和cd分別放置在導軌上，與導軌垂直并始終接觸良好，棒ab僅在MO及PR部分運動，棒cd僅在ON及RQ部分運動。棒的質量m=1.0 kg，R=1.0 Ω，長度L=1.0 m與導軌間距相同，棒與導軌間動摩擦因數μ=0.5，現對ab棒施加一個方向水平向右，按圖乙規律變化的力F，同時由靜止釋放cd棒，則ab棒做初速度為零的勻加速直線運動，g取10 m/s2。

甲

乙

(1)求ab棒的加速度大小；

(2)求磁感應強度B的大小；

(3)若已知在前2 s內F做功W=30 J，求前2 s內電路產生的焦耳熱。

【解析】(1)對ab棒分析受力有f=μmg，v=at

由牛頓第二定律得F-BIL-f=ma

由圖乙可知，當t=0時，F=6 N，代入可得

(2)由圖乙可知，當t=2 s時，F=10 N由①得

(3)0～2 s過程中，對ab棒有

由動能定理可得

【思路點撥】本題為“棒+軌”模型，雙棒斜面切割問題，考查牛頓運動定律、能量與電磁感應的結合，難度較大，導體棒在運動過程中受到重力、安培力和摩擦力，由牛頓第二定律列式求解，在t=2 s時結合圖象求出F，由牛頓第二定律求出安培力，根據導體棒做勻變速直線運動的規律可求出磁感強度，在第三問中有關能量變化求熱量，可利用動能定理進行求解。

三、電磁感應與動量結合問題

“棒+軌”模型是高考命題的“基本道具”，也是高考的熱點，考查的知識點多，題目的綜合性強，物理情景變化空間大，是高考復習中的難點。“棒+軌”模型又分為“單棒”模型(“單棒”型為重點)和“雙棒”模型；導軌放置方式可分為水平、豎直和傾斜；桿的運動狀態可分為勻速、勻變速、非勻變速運動等。通常利用微元法求電荷量，利用能量觀點、動量觀點解決相互作用問題等。

【典例分析3】兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為L。導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形閉合回路，如圖5所示。兩根導體棒的質量均為m，電阻均為R，回路中其余部分的電阻可不計。在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B。設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行。開始時，棒cd靜止，棒ab有沿導軌指向棒cd的初速度v0。若兩導體棒在運動中始終不接觸，均始終與導軌垂直且接觸良好，求：

圖5

(1)在運動過程中產生的焦耳熱最多是多少?

【解析】(1)從開始到兩棒達到相同速度v的過程中，兩棒的總動量守恒，有

mv0=2mv

根據能量守恒定律，整個過程中產生的總熱量

故回路中的電動勢為

【思路點撥】由題目審題分析可知，“雙棒”水平切割磁感線產生動生電動勢，兩導體棒相當于電源，互為反電動勢，導體棒處于運動變化狀態，屬于電磁學與能量與動量的結合問題，分析確定導體棒最終將做何種運動，明確能量的轉化過程，即機械能轉化為電能及另一導體棒的動能，部分電能又轉化為電路的內能，最后利用動量守恒和能量守恒的觀點便可解決問題。

【拓展訓練】如圖6所示，質量m1=0.1 kg，電阻R1=0.3 Ω，長度l=0.4 m的導體棒ab橫放在U形金屬框架上。框架質量m2=0.2 kg，放在絕緣水平面上，與水平面間的動摩擦因數μ=0.2。相距0.4 m的MM′、NN′相互平行，電阻不計且足夠長。電阻R2=0.1 Ω的MN垂直于MM′。整個裝置處于豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度B=0.5 T。垂直于ab施加F=2 N的水平恒力，ab從靜止開始無摩擦地運動，始終與MM′、NN′保持良好接觸。當ab運動到某處時，框架開始運動。設框架與水平面間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2。

圖6

(1)求框架開始運動時ab速度v的大小；

(2)從ab開始運動到框架開始運動的過程中，MN上產生的熱量Q=0.1 J，求該過程ab位移x的大小。

【解析】(1)ab對框架的壓力F1=m1g

框架受水平面的支持力FN=m2g+F1

依題意可知，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則框架受到最大靜摩擦力大小為Ff2=μFN

ab中的感應電動勢E=Blv

MN受到的安培力F安=BIl

框架開始運動時F安=F2

由上述各式代入數據解得v=6 m/s

代入數據解得x=1.1 m

【思路點撥】由題目審題分析可知，本是“單棒”在水平面內受恒力作用切割磁感線問題，導體棒產生動生電動勢，相當于電源，導體棒處于運動變化狀態，屬于電磁學與能量結合問題，注意明確能量轉化過程，即機械能部分轉化為電能，電能又轉化為電路的內能，最后利用能量的觀點巧妙地解決問題。拓展后電磁感應的知識框架不變，但是與力學、電學規律的結合有了細微的變化，利用恒力做功結合動能定理在電磁感應電路中求位移，也是一種靈活的解題方法。